Matemática
Algumas vezes somos questionados sobre qual seria o melhor tipo telescópio para que seja possível ver a bandeira ou o carro deixados pelos astronautas na Lua na década de $1970$. Outras vezes a pergunta recai sobre o motivo pelo qual, mesmo existindo tantos telescópios na Terra, essas mesmas fotos não são publicadas. Apesar de parecerem ingênuas à primeira vista, as perguntas são bastante interessantes e mostram como um pouquinho de conhecimento pode explicar muita coisa.
Antes de entrar em detalhes, é necessário informar que as fotos dos objetos deixados na Lua não são publicadas simplesmente porque elas não existem. E o motivo é bem simples: não existe nenhum telescópio capaz de enxergar objetos tão pequenos a uma distância tão grande. Nem o telescópio Hubble, com um espelho de $2,4\ m$ é capaz desse feito!
Para explicar o motivo que faz essa observação ser praticamente impossível é necessário conhecer dois conceitos importantes: o tamanho angular da Lua e dos objetos no céu e o poder de resolução de um telescópio. Vamos começar pelo primeiro.
Cada um dos minutos desse arco é chamado de arco-minuto ou minuto de arco enquanto cada segundo é chamado de arco-segundo ou segundo de arco. Qualquer uma dessas denominações estão corretas e podem ser empregadas sem confusões.
Como sabemos, a Lua tem um diâmetro de $3.474\ km$ e é praticamente esse disco que enxergamos aqui da Terra. Se este disco de $3.474\ km$ ocupa $1.800$ segundos, então cada arco-segundo dele equivale a $1,93$ quilômetro.
Uma vez compreendido o conceito acima, vamos ao segundo ponto da questão. Se não entendeu, leia novamente!
Existem diversos métodos para se calcular o poder de resolução de um telescópio e um dos mais usados é o "Critério de Rayleigh". Para usá-lo basta dividir $139,7$ pelo tamanho da objetiva em milímetros. O resultado será o poder de resolução, expresso em arco-segundos.
Como exemplo, um telescópio de $150$ milímetros tem um poder de resolução de $0,93$ arco-segundos $(139,7/150\ mm)$, o que significa que objetos menores que isso não poderão ser vistos por este telescópio. Apenas para lembrar, a Lua tem $1.800$ arco-segundos.
A grosso modo, o poder de resolução de um instrumento é diretamente proporcional ao tamanho da sua abertura. Em outras palavras, quanto maior o diâmetro da objetiva ou espelho, melhor será seu poder de resolução.
$a)$ Poder de Resolução $\displaystyle = \frac{139,7}{150\ mm} = 0,93$ arco-segundo.
$b)$ Resolução $\displaystyle = 1,93\ km \times 0,93 = 1.794$ metros.
Ou seja, com um telescópio de $150$ milímetros não dá pra ver o carro, a bandeira ou a pegada de Armstrong na Lua!
$a)$ Poder de Resolução $\displaystyle = \frac{139,7}{300} = 0,46$ arco-segundo.
$b)$ Resolução $\displaystyle =1,93\ km \times 0,46 = 898$ metros.
Melhorou bastante mesmo. Com um instrumento de $300$ milímetros já dá para ver objetos de $898$ metros, mas o carro, a bandeira ou a pegada de Armstrong... Nada feito!
$a)$ Poder de Resolução $\displaystyle = \frac{139,7}{11.000} = 0,0127$ arco-segundo.
$b)$ Resolução $\displaystyle =1,93\ km \times 0,0127 = 24,51$ metros.
Nada ainda... Nem com o maior telescópio do mundo é possível ver o carro, a bandeira ou a pegada de Armstrong na Lua!
A título de curiosidade, o olho humano médio tem um poder de resolução de $120$ arco-segundos. Assim, quando olhamos a Lua o menor detalhe que podemos ver precisa ter no mínimo 231 quilômetros:
\begin{equation*}
1,93\ km \times 120\ s = 231\ km
\end{equation*}
Agora que você já entendeu como se calcula o poder de resolução de um telescópio, faça os mesmos cálculos para o Sol, Júpiter, Marte, etc. A tabela abaixo mostra os diâmetros reais (em km) e angulares (em arco-segundos) para os diversos objetos do Sistema Solar. Experimente. Você vai se surpreender!
* Este artigo é uma republicação. O artigo original foi elaborado por Rogério Leite do site Apolo11 e o link encontra-se nas referências abaixo.
[2] The Southern African Large Telescope: SALT
Determinando a distância entre a Terra e a Lua
Determinando a massa da Terra
- Circunferência
CircunferênciaMarcos Noé Circunferência e seus elementosNo cotidiano identificamos objetos e construções que lembram uma circunferência, um contorno ou regiões circulares. A circunferência possui propriedades e definições...
- Área Do Setor Circular
Medindo a área do arco de um círculo A área total de um círculo é proporcional ao tamanho do raio e pode ser calculada pela expressão π * r², na qual π equivale a 3,14 e r é a medida do raio do círculo. O círculo pode ser dividido em infinitas...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int$ $\frac{1}{ax^2+bx+c}\ Dx$
Nesta postagem, vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{ax^2+bx+c}\ dx = 2\ \text{arctg}\left( \frac{2ax+b}{\displaystyle \sqrt{a}\sqrt{4c-\frac{b^2}{a}}} \right) + C \end{equation*} onde $a$, $b$ e $c$ são constantes, onde $a$, $b$ e $c$ ...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a}\ Dx$
Nesta postagem, vamos provar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{x^2+a}\ dx = \frac{\displaystyle \text{arctg}\left( \frac{x}{\sqrt{a}}\right)}{\sqrt{a}}+C \end{equation*} onde $a$ é uma constante, tal que $a \in \mathbb{R}^\ast$, sendo $x^2+a \neq...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a^2}dx$
Nesta postagem, vamos provar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{x^2+a^2}\ dx = \frac{1}{a}\text{arctg}\left(\frac{x}{a}\right) + C \end{equation*} onde $a$ é uma constante, tal que $a \in \mathbb{R}^\ast$, sendo $x^2 + a^2 \neq 0$. Seja a integral:...
Matemática
O poder dos telescópios e os objetos deixados na superfície lunar
Algumas vezes somos questionados sobre qual seria o melhor tipo telescópio para que seja possível ver a bandeira ou o carro deixados pelos astronautas na Lua na década de $1970$. Outras vezes a pergunta recai sobre o motivo pelo qual, mesmo existindo tantos telescópios na Terra, essas mesmas fotos não são publicadas. Apesar de parecerem ingênuas à primeira vista, as perguntas são bastante interessantes e mostram como um pouquinho de conhecimento pode explicar muita coisa.
[O astronauta e comandante da Apollo 17 Eugene Cernan é retratado pelo piloto Harrison Schmitt, em dezembro de 1972. Ao lado direito da foto temos o Jipe-Lunar deixado na superfície da Lua e ao fundo as marcas das trilhas deixadas durante a expedição]
Antes de entrar em detalhes, é necessário informar que as fotos dos objetos deixados na Lua não são publicadas simplesmente porque elas não existem. E o motivo é bem simples: não existe nenhum telescópio capaz de enxergar objetos tão pequenos a uma distância tão grande. Nem o telescópio Hubble, com um espelho de $2,4\ m$ é capaz desse feito!
Para explicar o motivo que faz essa observação ser praticamente impossível é necessário conhecer dois conceitos importantes: o tamanho angular da Lua e dos objetos no céu e o poder de resolução de um telescópio. Vamos começar pelo primeiro.
Medida angular
Em astronomia a abóbada celeste é divida em um arco de $360$ partes ou graus. Cada um dos $360$ graus desse arco é divido em outras $60$ partes ou minutos. Assim, o arco da abóbada tem ao todo $21.600$ minutos. Cada minuto desse arco também é dividido em $60$ partes ou segundos, tornando a abóbada um arco composto de $1.296.000$ segundos.Cada um dos minutos desse arco é chamado de arco-minuto ou minuto de arco enquanto cada segundo é chamado de arco-segundo ou segundo de arco. Qualquer uma dessas denominações estão corretas e podem ser empregadas sem confusões.
Tamanho da Lua
É na abóbada imaginária que estão dispostos todos objetos celestes, os planetas, as estrelas, o Sol e a Lua. Se olharmos a Lua veremos que ela ocupa aproximadamente meio grau ($30$ minutos) no arco dessa abóbada, ou seja, $1.800$ arco-segundos.Como sabemos, a Lua tem um diâmetro de $3.474\ km$ e é praticamente esse disco que enxergamos aqui da Terra. Se este disco de $3.474\ km$ ocupa $1.800$ segundos, então cada arco-segundo dele equivale a $1,93$ quilômetro.
Uma vez compreendido o conceito acima, vamos ao segundo ponto da questão. Se não entendeu, leia novamente!
A resolução do telescópio
Todos os instrumentos óticos, inclusive nossos olhos, têm suas limitações e um dos principais fatores que determinam a capacidade de um telescópio é chamado de "Poder de Resolução". É ele que determina o tamanho do menor objeto que se pode ver através de um telescópio.Existem diversos métodos para se calcular o poder de resolução de um telescópio e um dos mais usados é o "Critério de Rayleigh". Para usá-lo basta dividir $139,7$ pelo tamanho da objetiva em milímetros. O resultado será o poder de resolução, expresso em arco-segundos.
Como exemplo, um telescópio de $150$ milímetros tem um poder de resolução de $0,93$ arco-segundos $(139,7/150\ mm)$, o que significa que objetos menores que isso não poderão ser vistos por este telescópio. Apenas para lembrar, a Lua tem $1.800$ arco-segundos.
A grosso modo, o poder de resolução de um instrumento é diretamente proporcional ao tamanho da sua abertura. Em outras palavras, quanto maior o diâmetro da objetiva ou espelho, melhor será seu poder de resolução.
Juntando tudo e mais um pouco
Como vimos no início, cada arco-segundo no disco lunar equivale a $1,93\ km$. Se apontarmos para ela nosso telescópio de $150$ milímetros, capaz de "resolver" $0,93$ arco-segundo, então o menor objeto que podemos ver com ele na superfície da Lua precisa ter no mínimo $1.794$ metros. Veja porque:$a)$ Poder de Resolução $\displaystyle = \frac{139,7}{150\ mm} = 0,93$ arco-segundo.
$b)$ Resolução $\displaystyle = 1,93\ km \times 0,93 = 1.794$ metros.
Ou seja, com um telescópio de $150$ milímetros não dá pra ver o carro, a bandeira ou a pegada de Armstrong na Lua!
Mais força!
Mas... E se aumentarmos o diâmetro do telescópio? Que tal um caro instrumento de $300$ milímetros? Bem, neste caso as coisas melhoram, mas não muito. Vejamos:$a)$ Poder de Resolução $\displaystyle = \frac{139,7}{300} = 0,46$ arco-segundo.
$b)$ Resolução $\displaystyle =1,93\ km \times 0,46 = 898$ metros.
Melhorou bastante mesmo. Com um instrumento de $300$ milímetros já dá para ver objetos de $898$ metros, mas o carro, a bandeira ou a pegada de Armstrong... Nada feito!
Mais Potência!
Vamos poupar esforços e vamos olhar a Lua com o maior telescópio que existe no mundo, o SALT, na África do Sul. Seu espelho tem nada menos que $11$ metros de diâmetro, ou seja, $11$ mil milímetros. Será que agora dá para ver os apetrechos lunares? Vamos ver:$a)$ Poder de Resolução $\displaystyle = \frac{139,7}{11.000} = 0,0127$ arco-segundo.
$b)$ Resolução $\displaystyle =1,93\ km \times 0,0127 = 24,51$ metros.
Nada ainda... Nem com o maior telescópio do mundo é possível ver o carro, a bandeira ou a pegada de Armstrong na Lua!
Concluindo
Como deu pra perceber, não basta ter um telescópio para se ver os equipamentos deixados na Lua. É preciso que esse telescópio tenha um diâmetro muito grande, capaz de "resolver" detalhes muito pequenos. Supondo que o carro deixado na Lua tenha aproximadamente $2,5$ metros de comprimento, o telescópio terá que ter aproximadamente $100$ metros de diâmetro para que os instrumentos lá deixados sejam visíveis aqui da Terra. Sem dúvida, um instrumento impraticável!A título de curiosidade, o olho humano médio tem um poder de resolução de $120$ arco-segundos. Assim, quando olhamos a Lua o menor detalhe que podemos ver precisa ter no mínimo 231 quilômetros:
\begin{equation*}
1,93\ km \times 120\ s = 231\ km
\end{equation*}
Agora que você já entendeu como se calcula o poder de resolução de um telescópio, faça os mesmos cálculos para o Sol, Júpiter, Marte, etc. A tabela abaixo mostra os diâmetros reais (em km) e angulares (em arco-segundos) para os diversos objetos do Sistema Solar. Experimente. Você vai se surpreender!
* Este artigo é uma republicação. O artigo original foi elaborado por Rogério Leite do site Apolo11 e o link encontra-se nas referências abaixo.
Referências
[1] http://www.apolo11.com/poder_dos_telescopios.php[2] The Southern African Large Telescope: SALT
Veja mais:
Cálculo do centro de massa do binário Terra-LuaDeterminando a distância entre a Terra e a Lua
Determinando a massa da Terra
- Circunferência
CircunferênciaMarcos Noé Circunferência e seus elementosNo cotidiano identificamos objetos e construções que lembram uma circunferência, um contorno ou regiões circulares. A circunferência possui propriedades e definições...
- Área Do Setor Circular
Medindo a área do arco de um círculo A área total de um círculo é proporcional ao tamanho do raio e pode ser calculada pela expressão π * r², na qual π equivale a 3,14 e r é a medida do raio do círculo. O círculo pode ser dividido em infinitas...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int$ $\frac{1}{ax^2+bx+c}\ Dx$
Nesta postagem, vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{ax^2+bx+c}\ dx = 2\ \text{arctg}\left( \frac{2ax+b}{\displaystyle \sqrt{a}\sqrt{4c-\frac{b^2}{a}}} \right) + C \end{equation*} onde $a$, $b$ e $c$ são constantes, onde $a$, $b$ e $c$ ...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a}\ Dx$
Nesta postagem, vamos provar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{x^2+a}\ dx = \frac{\displaystyle \text{arctg}\left( \frac{x}{\sqrt{a}}\right)}{\sqrt{a}}+C \end{equation*} onde $a$ é uma constante, tal que $a \in \mathbb{R}^\ast$, sendo $x^2+a \neq...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a^2}dx$
Nesta postagem, vamos provar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{x^2+a^2}\ dx = \frac{1}{a}\text{arctg}\left(\frac{x}{a}\right) + C \end{equation*} onde $a$ é uma constante, tal que $a \in \mathbb{R}^\ast$, sendo $x^2 + a^2 \neq 0$. Seja a integral:...