Matemática

Pergunta do Internauta

Resolução a pedido da Profª. Cristiane.

Uma substancia radioativa se desintegra a uma taxa de 8% ao ano. Em quantos anos 50 g dessa substância se reduzirão a 5 g?

Use Q = Q₀? e^{?r ? t}, em que Q é a massa da substância, r é a taxa e t é o tempo em anos.

Resolução:

Para resolver esta questão é necessário relembrar algumas propriedades dos logaritmos. Pelos dados do problema: Q = 5 g (massa final da substância); Q₀= 50 g (massa inicial da substância, nas fórmulas o índice 0 indica inicial); r = 8% = 0,08.

Q = Q₀ ? e^{?r ?t} ? 5 = 50 ? e^{?0,08 ? t} ?5 / 50 = e^{?0,08 ?t} ? 1 / 10 = e^{?0,08 ? t} ? 10^?1 = e^{?0,08 ?t}

Observe que o expoente do número ?e? é negativo então vamos realizar mais um passo que nos auxiliará nos passos seguintes:

1 / 10 = e^{?0,08 ?t} ? 10^?1 = e^{?0,08? t}

Devemos determinar o logaritmo de cada lado da igualdade, neste passo utilizaremos as propriedades dos logaritmos para tirar a variável t do expoente. Por se tratar de uma função envolvendo o número ?e? utilizaremos o logaritmo natural ou neperiano (log_e = ln), ou seja, o logaritmo cuja base é o número ?e?.

10^?1 = e^{?0,08 ? t} ? ln ( 10^?1) = ln ( e^{?0,08 ? t} )

Segundo a propriedade do logaritmo: log (a^b) = b ? log (a) , temos:

(?1) ? ln (10) = (?0,08 ? t) ? ln (e) ? ln (10) = (0,08 ? t) ? ln (e)

Outra propriedade do logaritmo: log_a (a) = 1, logo: log_e (e) = ln (e) = 1 , então temos:

ln (10) = (0,08? t) ? ln (e) ? ln (10) = 0,08 ?t

ln (10) ? 2,30258

ln (10) = 0,08? t ? 2,30258 = 0,08 ?t ? t = 28,78225 anos ? 29 anos.

Observação:

Na internet o problema foi apresentado da seguinte forma: ?Uma substancia radioativa se desintegra a uma taxa de 8% ao ano. Em quantos anos 50g dessa substância se reduzir?se?ão a 5g? Dados: log 92 = 1,96?, onde não é mencionada a função Q (t) = Q₀ ? e^{?r ?t} .

Seja Q a quantidade de substância decorrido determinado período (em anos) e Q₀ a quantidade inicial da substância.

No primeiro ano:

Q₁ = Q₀ ? 8% de Q₀ = Q₀ ? (1 ? 0,08) = Q₀? 0,92 = 50 ? 0,92 = 46 g

No segundo ano:

Q₂ = Q₁ ? 8% de Q₁ = Q₀ ? 0,92 ? 8% de (Q₀? 0,92) = Q₀ ? 0,92 ? 0,92 = Q₀ ? 0,92² =

= 50 ? 0,92² = 42,32 g

No terceiro ano:

Q₃ = Q₂ ? 8% de Q₂ = Q₀ ? 0,92² ? 8% de (Q₀ ? 0,92²) = Q₀ ? 0,92² ? 0,92 = Q₀ ? 0,92³=

= 50 ? 0,92³ = 38.93 g

E assim a regra segue, sendo que podemos determinar uma fórmula geral, onde t indica o tempo em anos:

Q = Q₀ ? 0,92^t ? Q = 50 ? 0,92^t

Para Q = 5 g :

Q = 50 ? 0,92^t ? 5 = 50 ? 0,92^t

5 / 50 = 0,92^t ? 1 / 10 = 0,92^t? 10^?1 = 0,92^t

log (10^?1) = log (0,92^t) ? (?1) ? log (10) = t ? log (0,92) ? ?1 = t ? log (92 / 100) ?

? ?1 = t? [log (92) ? log (100)] ? ?1 = t ? [log (92) ? log (10²)] ?

? ?1 = t? [log (92) ? 2 ? log (10)] ? ?1 = t? [log (92) ? 2] ?

? ?1 = t? [log (92) ? 2] ? ?1 / [log (92) ? 2] = t? ?1 / [1,96 ? 2] = t ? t = 25 anos

Utilizando uma calculadora cientifica para determinar o log (92) e utilizando todas as casas decimais disponibilizadas obtemos t = 27,6150... anos ? 28 anos.

Fonte:

IEZZI, Gerson. DOLCE, Osvaldo. MURAKAMI, Carlos. Fundamentos da Matemática Elementar ? Volume 2: Logaritmos. 3º ed. São Paulo: Editora Atual, 1.997.

Exercício na Web: http://www.geometriamar.com.br/pdf/geometriamar_prof_marcelolopes_funcao_log_lista2_PreVest.pdf

- Função Logarítmica
As funções na forma f(x) = logax são consideradas logarítmicas, com a > 0 e a ≠ 1, sendo f : R*+ → R. Exemplos: f(x) = log2x f(x) = log5(x – 2) f(x) = log(a – 2)4 f(x) = log0,5x O gráfico da função logarítmica é determinado de acordo...

- Equações Logaritmicas
Os logaritmos possuem várias aplicações na Matemática e em diversas áreas do conhecimento, como Física, Biologia, Química, Medicina, Geografia entre outras. Iremos através de exemplos demonstrar a utilização das técnicas de logaritmos na busca...

- Logaritmos
Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro BarrosoColégio Estadual Dinah Gonçalvesemail [email protected] www.ensinodematemtica.blogspot.com.brwww.accbarrosogestar.blogspot.com.br WWW.profantoniocarneiro.com...

- Logaritmos
Logaritmo podem simbolizar potência de outra forma. Como 10 ao quadrado = 100, então log 100 = 2. Eles são mais curtos que as potências. Imagine que as potências indiquem a altura de um foguete que, depois de lançado, atinge 10 m em 1 segundo,...

- Logaritmo
Os logaritmos possuem várias aplicações na Matemática e em diversas áreas do conhecimento, como Física, Biologia, Química, Medicina, Geografia entre outras. Iremos através de exemplos demonstrar a utilização das técnicas de logaritmos na busca...

Matemática