Representamos por an, a potência de base real a e expoente inteiro n.
Definimos a potência an nos casos abaixo:
• 1º caso: Expoente inteiro maior que 1.
• 1º caso: Expoente inteiro maior que 1.
Potência de expoente inteiro maior que 1 é o produto de tantos fatores iguais à base quantas forem as unidades do expoente.
Assim:
Exemplos:
a) 43 = 4 · 4 · 4 = 64
b) 15 = 1 · 1 · 1 · 1 · 1 = 1
c) (–2)4= (–2) · (–2) · (–2) · (–2) = 16
d) 
• 2º caso: Expoente 1
Toda potência de expoente 1 é igual à base.
Assim:
Exemplos
a) 51 = 5
b) 
• 3º caso: Expoente zero
Toda potência de expoente zero é igual a 1.
Assim:
Exemplos
a) 50 = 1
b) 
= 1
= 1 • 4º caso: Expoente inteiro negativo
Toda potência de expoente inteiro negativo e base não-nula é igual à potência de base igual ao inverso da base dada e expoente igual ao oposto do expoente dado.
Assim:
Exemplos:
a) 
b)
c)
b)
c)
Observação:
Sendo n um número inteiro, temos:
1a) a = 0 e n > 0
an = 02a) a = 0 e n < 0
an 
R3a) a > 0
an > 04a) a < 0 e n par
an > 05a) a < 0 e n ímpar
an < 0 2. Propriedades
Consideremos os números reais a e b, e os números naturais m e n. Então são válidas as seguintes propriedades.
• P1: Produto de potências de mesma base
Para multiplicarmos potências de mesma base, conservamos a base e somamos os expoentes.
Justificativa:
= 
Assim: am · an = am+n.
Exemplos:
a) 23 · 25 = 23+5 = 28
b) 4x · 4-x+2 = 4x+(-x+2) = 42
c) 3 · 32 · 36 = 31+2+6 = 39
• P2: Quociente de potências de mesma base
Para dividirmos potências de mesma base, conservamos a base e subtraímos os expoentes.
Justificativa:
1o. Sendo m > n, temos
2o. Se m = n, 
= 1= a(m-n) = a0 = 1
3o. Se
= a (m - n)
= 1= a(m-n) = a0 = 13o. Se
= a (m - n) Exemplos:
a) 
= 26-2 = 24
= 26-2 = 24 b) 
= 5x-2
= 5x-2 c) 
= 4(x+2)-(x-3) = 45
= 4(x+2)-(x-3) = 45 • P3: Produto de potências de mesmo expoente
Para multiplicarmos potências de mesmo expoente, conservamos o expoente e multiplicamos as bases.
Justificativa
Assim: an · bn = (ab)n.
Exemplos
a) 24 · 84 = (2 · 8)4 = 164
b) x3 · y3 · z3 = (x · y · z)3
• P4: Quociente de potências de mesmo expoente
Para dividirmos potências de mesmo expoente, conservamos o expoente e dividimos as bases.
Justificativa:
Assim:
Exemplos:
a)
b)
• P5: Potência de uma potência
Para elevarmos uma potência a um novo expoente, conservamos a base e multiplicamos os expoentes.
Justificativa:
Exemplos:
a) (23)2 = 22.2 = 26
b)
= 32.3.2 = 312Observação
As propriedades apresentadas podem ser estendidas para os expoentes m e n inteiros.
Exemplos
a) 23 · 2-2 = 23 + (-2) = 21 (P1)
b)
= 52 - (-3) = 52 + 3 = 55 (P2)c) 5-3 · 2-3 = (5 · 2)-3 = 10-3 (P3)
d)
(P4)e)
(P5)Situações Especieais
A. (– a)n e –an
As potências (–a)n e –an , em geral, apresentam resultados diferentes, pois:
Exemplos
a) (–2)4 = (–2) · (–2) · (–2) · (–2) = 16
b) –24 = – 2 · 2 · 2 · 2 = –16
c) (–2)3 = (–2) · (–2) · (–2) = –8
d) –23 = – 2 · 2 · 2 = –8
B.
As potências
, em geral, apresentam resultados diferentes, pois:
e
Exemplos
a)
= (32) · (32) · (32) = 32 · 3 = 36b)
= 32 · 2 · 2 = 38