Matemática
- Algumas Provas De Que $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} $
Nosso objetivo de hoje será calcular a soma dos inversos dos quadrados dos naturais de algumas maneiras distintas, obtendo assim uma pequena coleção de belas provas de tal fato. Teorema: $$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \text{sen}^2 (ax)dx$
Nesta postagem, vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \text{sen}^2(ax)dx = \frac{x}{2} - \frac{\text{sen}(2ax)}{4a} + C \end{equation*} onde $a \in \mathbb{R}$ e $a \neq 0$. Seja a integral: \begin{equation*} I = \int \text{sen}^2(ax)dx \end{equation*}...
- Triângulos De áreas Constantes Na Elipse
Leonhard Euler foi o matemático mais prolífico de todos os tempos, estudando vários problemas em várias áreas da Matemática. Em um pequeno artigo, ele discute algumas propriedades de triângulos inscritos em seções cônicas e neste post, veremos...
- Razão De Secção
Consideremos três pontos: $A(x_a,y_a)$, $B(x_b,y_b)$ e $C(x_c,y_c)$, pertencentes a uma mesma reta $r$, oblíqua aos eixos $x$ e $y$ e ainda sendo $B$ e $C$ distintos. Definição:A razão $k$ das medidas algébricas de $\overline{AC}$ e $\overline{CB}$...
- Os $10$ Problemas De Apolônio: Problema $1:[ppp]$ Problema Dos Três Pontos
Este é o mais simples dos problemas sobre tangências de Apolônio, que se resume em descrever uma circunferência que passa por três pontos dados não-colineares. Sejam três pontos não-colineares quaisquer $A$, $B$ e $C$ no plano. Para descrevermos...
Matemática
Prova geométrica do TFC
O leitor que já estudou Cálculo Diferencial e Integral provavelmente concorda que, no estudo desta disciplina, as interpretações geométricas de vários conceitos desempenham um papel bastante significativo. É de se notar, entretanto, que na hora de se estudar a prova do Teorema Fundamental do Cálculo (TFC), o apelo geométrico parece se desvanecer e a abordagem que geralmente se vê é essencialmente analítica. Mas será que existe algum tipo de interpretação geométrica para a demonstração do TFC? Tal interpretação não só existe como consiste numa das primeiras provas já publicadas deste importante resultado.
Esta postagem tem, então, o objetivo de expor uma demonstração geométrica para o 1º Teorema Fundamental do Cálculo (aqui, "1º teorema" refere-se à parte de acordo com a qual "a derivada da integral de uma função é a própria função").
Notadamente, apresentaremos o argumento devido ao matemático inglês Isaac Barrow (1630-1677) publicado em 1669 na sua obra Geometrical Lectures (Proposição 11, Lecture X).
Isaac Barrow
Cabe notar que, nos livros de cálculo, geralmente o TFC versa sobre uma função contínua $$f:[a,b]\to\mathbb{R}$$ (na realidade, bastaria $$f$$ ser integrável, conforme se vê nos curso de análise). Porém, na nossa exposição, exigiremos (assim como Barrow o fez) um pouco além da continuidade de $$f$$. Especificamente, suporemos $$f$$ positiva e crescente (o leitor notará que o mesmo argumento vale para uma função negativa, mas não vale para os casos em que $$f$$ se anula nalgum ponto).
Seja, então, $$f:[a,b]\to\mathbb{R}$$ uma função contínua, positiva e crescente. Considere a função $$F:[a,b]\to\mathbb{R}$$ dada por
$$F(x)=\int_a^x f(s) ds.$$
Geometricamente, $$F(x)$$ representa a área da região limitada pelo gráfico de $$f$$ e pelo eixo das abscissas entre os pontos $$a$$ e $$x$$ (veja figura 1). Para fins de ilustração, suporemos $$a>0$$ e $$F(x)>f(x)$$ para todo $$x\in[a,b]$$.
Figura 1: geometricamente F(x) corresponde à área da região sombreada.
Marquemos o ponto $$t=x-F(x)/f(x)$$ sobre o eixo das abscissas e tracemos a reta $$R$$ que intersecta o eixo das abscissas no ponto $$ t $$ e passa pelo ponto $$(x,F(x))$$ (veja figura 2). Note que $$t<x$$, (mas não, necessariamente, $$t\geq a$$).
Figura 2: reta $$R$$ passando pelos pontos (t, 0) e (x, F(x)), onde t = x ? F(x)/f(x).
Agora, considere um ponto $$p\in [a,x)$$ e seja $$k$$ a abscissa do ponto no qual a reta horizontal $$y=F(p)$$ intersecta a reta $$R$$ (veja figura 3).
Figura 3: a reta y = F(p) intersecta a reta R no ponto (k, F(p)).
Na nossa figura, obtivemos $$k>p$$. Verifiquemos que, de fato, isto sempre ocorre. Para tanto, vamos nomear os pontos do seguinte modo: $$G=(x,F(x))$$, $$M=(x,F(p))$$, $$K=(k,F(p))$$, $$X=(x,0)$$ e $$T=(t,0)$$ (veja figura 4).
Figura 4: alguns pontos nomeados.
Note que os triângulos $$GMK$$ e $$GXT$$ são semelhantes. Deste modo, $$GM/MK=GX/XT$$, ou seja,
$$\frac{F(x)-F(p)}{x-k}=\frac{F(x)}{x-t}=\frac{F(x)}{x-\left(x-\frac{F(x)}{f(x)\right)}}=f(x)$$
Portanto,
$$x-k=\frac{F(x)-F(p)}{f(x)}.$$
Por outro lado, pela própria definição da $$F$$, concluímos que $$F(x)-F(p)<f(x)(x-p)$$ (veja a figura 5).
Figura 5: Note que F(x) ? F(p) é a área sombreada e f(x)(x ? p) é a área do retângulo destacado. Logo F(x) ? F(p) < f(x)(x ? p).
Segue-se que
$$x-k=\frac{F(x)-F(p)}{f(x)} <\frac{f(x)(x-p)}{f(x)}=x-p$$
Assim, $$k>p$$.
Deduzimos, então, que $$(p,F(p))$$ não está sobre a reta $$R$$ (pois o único ponto com ordenada $$F(p)$$ que está sobre $$R$$ tem abscissa igual a $$k$$). Como $$p\in [a,x)$$ foi tomado arbitrário, concluímos que, à esquerda de $$x$$, o gráfico de $$F$$ se encontra localizado acima da reta $$R$$. Um argumento análogo permite mostrar que o mesmo fenômeno ocorre à esquerda do ponto $$x$$. Assim, a reta $$R$$ ?toca? o gráfico de $$F$$, mas não o ?corta?. Ou seja, $$R$$ tangencia $$F$$ no ponto $$(x,F(x))$$. Portanto, $$F'(x)$$ é dada pela inclinação da reta $$R$$, ou seja,
$$\frac{d}{dx}\left[\int_a^xf(s)ds\right]=\frac{d}{dx}F(x)=F'(x)=\frac{GX}{XT}=$$
$$=\frac{F(x)}{x-t}=\frac{F(x)}{x-\left(x-\frac{F(x)}{f(x)}\right)}=f(x).$$
Isto finaliza a demonstração geométrica do primeiro teorema fundamental do cálculo, para o caso particular em que $$f$$ é crescente e positiva.
O 2º TFC (a parte que nos fornece uma fórmula para o cálculo de integrais definidas) também possui uma versão geométrica provada por Isaac Barrow na mesma obra (Proposição 19, Lecture XI). Poderá ser que, futuramente, a exporemos aqui no BLOG MANTHANO.
Desafio para o leitor: o leitor deve ter percebido que o ponto t brotou no meio da argumentação sem qualquer justificativa e desempenhou um papel fundamental. A pergunta que fica é a seguinte: como "adivinhar" que escolher t = x ? F(x)/f(x) funciona? O fato é que há uma motivação geométrica para esta escolha, a qual Barrow não comenta na sua demonstração e que, por hora, deixamos para o leitor investigar.
O 2º TFC (a parte que nos fornece uma fórmula para o cálculo de integrais definidas) também possui uma versão geométrica provada por Isaac Barrow na mesma obra (Proposição 19, Lecture XI). Poderá ser que, futuramente, a exporemos aqui no BLOG MANTHANO.
Referências: Livro The Geometrical Lectures of Isaac Barrow, de J. M. Child e site WolframAlpha.
Erros podem se relatados aqui.
PS.: Feliz natal e próspero ano novo a todos os leitores!
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