Matemática
Observe a imagem acima. Parece, sob o olhar desatento, retratar um robô de braços abertos cuja sombra é projetada sobre o solo que pisa e uma parede logo adiante. No entanto, se observar atentamente, o que parece chão e parede (formando um ângulo reto em perspectiva) é, na verdade, um único plano. A ilusão de profundidade é dada por uma sombra fisicamente impossível. Além disso, a frase "My shadow tickles me" (Minha sombra me faz cócegas) reforça uma confusão sobre ponto de vista. De fato, a sombra do braço esquerdo está sob a axila direita, justificando a brincadeira de estar fazendo cócegas. Porém, essa visão é virtualmente impossível do ponto de vista do robô. Portanto, a sombra faz cócegas em quem?
Esta imagem foi feita para ilustrar como é fácil criar ilusões com imagens. O verdadeiro mestre de ilusões, no entanto, foi o grande artista gráfico holandês Maurits Cornelis Escher, o qual concebeu inúmeras gravuras intimamente associáveis aos célebres Triângulo de Penrose e Escada de Penrose.
Desperto atenção para isso com o objetivo de destacar a diferença fundamental entre desenho e geometria. Em nossas terras até hoje se promove uma gigantesca confusão entre essas duas áreas da cultura mundial. É muito comum professores de matemática lecionarem geometria com o auxílio de réguas, compassos e transferidores. Réguas, compassos e transferidores são ferramentas úteis para o ensino de desenho, mas não de geometria. Pelo contrário, depender de instrumentos de desenho para aprender geometria é certamente um disparate.
Quando Euclides de Alexandria escreveu o monumental Elementos (sem dúvida a obra científica mais bem sucedida da história), sua visão de geometria foi interpretada durante dois mil anos como um compromisso matemático com as intuições humanas a respeito de espaço físico.
Quando o matemático russo Nicolai Lobachevsky provou a independência do célebre quinto postulado de Euclides, introduzindo aquilo que hoje conhecemos como as geometrias não euclidianas, esse compromisso entre geometria e intuição sobre espaço físico foi severamente ameaçado. Lobachevsky percebeu que a geometria euclidiana era apenas uma, entre infinitas geometrias possíveis.
Mas foi em 1899 que a geometria euclidiana atingiu seu primeiro grande amadurecimento depois de dois milênios de história. Foi neste ano que o alemão David Hilbert (o último matemático de visão genuinamente universal) publicou seu célebre Grundlagen der Geometrie, um livro no qual a geometria se reduzia a uma estrutura axiomática em que conceitos como ponto, reta e plano têm um status meramente linguístico.
Felizmente no Brasil existe pelo menos um livro de matemática originalmente escrito em português e, ao mesmo tempo, excelente. É a obra Fundamentos da Geometria, de Benedito Castrucci (LTC, 1978). Neste livro a geometria euclidiana é desenvolvida de tal forma que possa ser fundamentada, com todo o rigor, em qualquer das teorias de conjuntos usuais, como ZF e NBG.
No primeiro capítulo do livro de Castrucci, fortemente inspirado na obra original de Hilbert, um plano de incidência é definido como um par ordenado de dois conjuntos, a saber, um conjunto de pontos e um conjunto de retas. Pontos e retas nada mais são do que conjuntos. Ponto!
A versão original de Elementos, de Euclides, foi perdida. Resultado da ignorância dos cristãos que, em nome de Deus, incendiaram a Biblioteca de Alexandria e atrasaram o desenvolvimento científico da civilização durante séculos. O que se sabe hoje deste livro é por conta de traduções da obra para o latim e outros idiomas, bem como cópias de fragmentos em grego arcaico. Nas traduções que se popularizaram há uma suposta definição para ponto. Historiadores não têm certeza se essa definição é originalmente devida a Euclides ou se é uma contribuição de tradutores, com a finalidade de facilitar a compreensão. O fato é que a alegada definição apela para a noção intuitiva de que pontos não têm tamanho. E até hoje, em nossas escolas, se corrompe a mente de alunos com afirmações do seguinte tipo: "Ponto não tem largura, nem altura, nem profundidade". Ora, o administrador deste blog não tem escamas e nem tentáculos. No entanto, essa afirmação não pode ser considerada como algo que efetivamente defina quem sou eu.
Nos moldes do que a geometria euclidiana é hoje, não faz sentido perguntar qual é o tamanho de um ponto. É como perguntar qual é a cor da mulher. Mulher? Qual mulher?
Pontos, retas, planos e espaço são conceitos abstratos, usualmente fundamentados em teorias de conjuntos. E conjuntos são definidos única e exclusivamente pelos seus elementos (em ZF e NBG isso fica caracterizado pelo Axioma da Extensionalidade). Não há, nas teorias conjuntistas usuais, conceitos como os de tamanho, escamas ou tentáculos.
Portanto, se o professor de ensinos fundamental e médio deseja lecionar geometria, deve parar de uma vez por todas de seguir a literatura medíocre que assola este país. Se não consegue ler alemão (para ter acesso à obra de Hilbert), que pelo menos conheça bem o livro de Castrucci. Isso significa que deve conhecer detalhadamente pelo menos a teoria intuitiva de conjuntos. Feito isso, o próximo passo é a transposição de conhecimentos. A sofisticada linguagem usada hoje em dia para fundamentar a geometria deve ser adaptada para os limites intelectuais dos alunos.
Lecionar matemática para os ensinos fundamental e médio é uma tarefa extremamente complexa. Demanda conhecimentos profundos de matemática e treinamentos igualmente profundos em didática.
Se professores tanto anseiam pela valorização de suas carreiras, que façam justiça sobre suas reivindicações. Comecem a estudar.
- Quantas Dimensões Você Enxerga?
Nunca vi exceção. Todos os alunos que tive, até hoje, dizem que não conseguem imaginar um espaço com mais de três dimensões. Inerente a este discurso, existe a crença de que eles conseguem imaginar e até enxergar em um espaço tridimensional....
- Apenas Alguns Livros - Parte Iii
Esta é a terceira (e, provavelmente, a última) parte de uma lista de recomendações bibliográficas em matemática, física teórica e filosofia da ciência iniciada em março de 2013. Para acessar a lista completa com todas as postagens de recomendações...
- David Hilbert
David Hilbert nasceu em 23 de janeiro de 1862, e morreu em 14 de fevereiro de 1943.Foi um matemático alemão cujo trabalho em geometria teve a maior influência no campo desde Euclides. Depois de fazer um estudo sistemático dos axiomas da geometria...
- Questão 41 ? Processo De Promoção ? Quadro Do Magistério ? Professor De Educação Básica Ii ? Matemática ? São Paulo
Carl Boyer, em seu livro História da Matemática, apresenta e discute ideias de Euclides de Alexandria, que é o autor de Os Elementos. Para Boyer, os Elementos ?não só constituem a mais antiga obra matemática grega importante a chegar até nós,...
- Euclides E A Geometria Dedutiva
Derrotada a batalha de Queronéia pelas forças do rei Filipe, a Grécia torna-se parte do império macedônio no ano $338a.C.$. Dois anos depois, com a morte de Filipe, seu filho Alexandre assume o poder, então com $20$ anos de idade. Ao morrer, cerca...
Matemática
Qual é o tamanho de um ponto?
Observe a imagem acima. Parece, sob o olhar desatento, retratar um robô de braços abertos cuja sombra é projetada sobre o solo que pisa e uma parede logo adiante. No entanto, se observar atentamente, o que parece chão e parede (formando um ângulo reto em perspectiva) é, na verdade, um único plano. A ilusão de profundidade é dada por uma sombra fisicamente impossível. Além disso, a frase "My shadow tickles me" (Minha sombra me faz cócegas) reforça uma confusão sobre ponto de vista. De fato, a sombra do braço esquerdo está sob a axila direita, justificando a brincadeira de estar fazendo cócegas. Porém, essa visão é virtualmente impossível do ponto de vista do robô. Portanto, a sombra faz cócegas em quem?
Esta imagem foi feita para ilustrar como é fácil criar ilusões com imagens. O verdadeiro mestre de ilusões, no entanto, foi o grande artista gráfico holandês Maurits Cornelis Escher, o qual concebeu inúmeras gravuras intimamente associáveis aos célebres Triângulo de Penrose e Escada de Penrose.
Desperto atenção para isso com o objetivo de destacar a diferença fundamental entre desenho e geometria. Em nossas terras até hoje se promove uma gigantesca confusão entre essas duas áreas da cultura mundial. É muito comum professores de matemática lecionarem geometria com o auxílio de réguas, compassos e transferidores. Réguas, compassos e transferidores são ferramentas úteis para o ensino de desenho, mas não de geometria. Pelo contrário, depender de instrumentos de desenho para aprender geometria é certamente um disparate.
Quando Euclides de Alexandria escreveu o monumental Elementos (sem dúvida a obra científica mais bem sucedida da história), sua visão de geometria foi interpretada durante dois mil anos como um compromisso matemático com as intuições humanas a respeito de espaço físico.
Quando o matemático russo Nicolai Lobachevsky provou a independência do célebre quinto postulado de Euclides, introduzindo aquilo que hoje conhecemos como as geometrias não euclidianas, esse compromisso entre geometria e intuição sobre espaço físico foi severamente ameaçado. Lobachevsky percebeu que a geometria euclidiana era apenas uma, entre infinitas geometrias possíveis.
Mas foi em 1899 que a geometria euclidiana atingiu seu primeiro grande amadurecimento depois de dois milênios de história. Foi neste ano que o alemão David Hilbert (o último matemático de visão genuinamente universal) publicou seu célebre Grundlagen der Geometrie, um livro no qual a geometria se reduzia a uma estrutura axiomática em que conceitos como ponto, reta e plano têm um status meramente linguístico.
Felizmente no Brasil existe pelo menos um livro de matemática originalmente escrito em português e, ao mesmo tempo, excelente. É a obra Fundamentos da Geometria, de Benedito Castrucci (LTC, 1978). Neste livro a geometria euclidiana é desenvolvida de tal forma que possa ser fundamentada, com todo o rigor, em qualquer das teorias de conjuntos usuais, como ZF e NBG.
No primeiro capítulo do livro de Castrucci, fortemente inspirado na obra original de Hilbert, um plano de incidência é definido como um par ordenado de dois conjuntos, a saber, um conjunto de pontos e um conjunto de retas. Pontos e retas nada mais são do que conjuntos. Ponto!
A versão original de Elementos, de Euclides, foi perdida. Resultado da ignorância dos cristãos que, em nome de Deus, incendiaram a Biblioteca de Alexandria e atrasaram o desenvolvimento científico da civilização durante séculos. O que se sabe hoje deste livro é por conta de traduções da obra para o latim e outros idiomas, bem como cópias de fragmentos em grego arcaico. Nas traduções que se popularizaram há uma suposta definição para ponto. Historiadores não têm certeza se essa definição é originalmente devida a Euclides ou se é uma contribuição de tradutores, com a finalidade de facilitar a compreensão. O fato é que a alegada definição apela para a noção intuitiva de que pontos não têm tamanho. E até hoje, em nossas escolas, se corrompe a mente de alunos com afirmações do seguinte tipo: "Ponto não tem largura, nem altura, nem profundidade". Ora, o administrador deste blog não tem escamas e nem tentáculos. No entanto, essa afirmação não pode ser considerada como algo que efetivamente defina quem sou eu.
Nos moldes do que a geometria euclidiana é hoje, não faz sentido perguntar qual é o tamanho de um ponto. É como perguntar qual é a cor da mulher. Mulher? Qual mulher?
Pontos, retas, planos e espaço são conceitos abstratos, usualmente fundamentados em teorias de conjuntos. E conjuntos são definidos única e exclusivamente pelos seus elementos (em ZF e NBG isso fica caracterizado pelo Axioma da Extensionalidade). Não há, nas teorias conjuntistas usuais, conceitos como os de tamanho, escamas ou tentáculos.
Portanto, se o professor de ensinos fundamental e médio deseja lecionar geometria, deve parar de uma vez por todas de seguir a literatura medíocre que assola este país. Se não consegue ler alemão (para ter acesso à obra de Hilbert), que pelo menos conheça bem o livro de Castrucci. Isso significa que deve conhecer detalhadamente pelo menos a teoria intuitiva de conjuntos. Feito isso, o próximo passo é a transposição de conhecimentos. A sofisticada linguagem usada hoje em dia para fundamentar a geometria deve ser adaptada para os limites intelectuais dos alunos.
Lecionar matemática para os ensinos fundamental e médio é uma tarefa extremamente complexa. Demanda conhecimentos profundos de matemática e treinamentos igualmente profundos em didática.
Se professores tanto anseiam pela valorização de suas carreiras, que façam justiça sobre suas reivindicações. Comecem a estudar.
- Quantas Dimensões Você Enxerga?
Nunca vi exceção. Todos os alunos que tive, até hoje, dizem que não conseguem imaginar um espaço com mais de três dimensões. Inerente a este discurso, existe a crença de que eles conseguem imaginar e até enxergar em um espaço tridimensional....
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David Hilbert nasceu em 23 de janeiro de 1862, e morreu em 14 de fevereiro de 1943.Foi um matemático alemão cujo trabalho em geometria teve a maior influência no campo desde Euclides. Depois de fazer um estudo sistemático dos axiomas da geometria...
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Carl Boyer, em seu livro História da Matemática, apresenta e discute ideias de Euclides de Alexandria, que é o autor de Os Elementos. Para Boyer, os Elementos ?não só constituem a mais antiga obra matemática grega importante a chegar até nós,...
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Derrotada a batalha de Queronéia pelas forças do rei Filipe, a Grécia torna-se parte do império macedônio no ano $338a.C.$. Dois anos depois, com a morte de Filipe, seu filho Alexandre assume o poder, então com $20$ anos de idade. Ao morrer, cerca...