Matemática

Questão 30 ? Concurso SEE/SP (FGV) ? 2.013 ? Professor de Educação Básica II ? Matemática

Ao conjunto {2, 5, 9, 11, 14, 15} é acrescentado um sétimo número inteiro N, diferente daqueles já existentes, de tal modo que o novo conjunto de números a média e a media são iguais.

A soma dos possíveis valores de N é:

(A) 25.

(B) 28.

(D) 38.

(E) 45.

Obs: Caderno de Prova Tipo 2 ? Cor Verde

Solução: (B)

Aplicando o Método de Resolução de Problemas segundo Polya:

1° ? Compreensão do Problema

Nesta questão temos que determinar os possíveis valores de Npara que a média (X) e a mediana (M) sejam iguais e que N seja diferente dos números do conjunto {2, 5, 9, 11, 14, 15}.

Mediana é o valor que ocupa a posição central, quando os valores dos dados são ordenados de forma crescente ou decrescente. Segundo o enunciado acrescentando o valor de N temos sete elementos no conjunto, assim a mediana é o valor do número que ocupa a quarta posição.

2° ? Estabelecimento de um Plano

Conforme o enunciado, temos três possíveis medianas dependendo da posição de Nno conjunto: (i) mediana igual a 9, para N< 9 e N ? {2, 5}; (ii) mediana igual a 10, para 9 < N < 11, e; mediana igual a 11 para N > 11 e N ? {14, 15}.

A média dos valores deste conjunto é obtida por meio da fórmula:

X = (2 + 5 + 9 + 11 + 14 + 15 + N) / 7 = (56 + N) / 7

Neste caso devemos igualar a media para cada possível valor da mediana e analisar os resultados de N para realizar a soma dos valores de N que satisfazem o enunciado.

3° ? Execução do Plano

X = M

(i) para M = 9:

(56 + N) / 7 = 9 ? 56 + N = 63 ? N = 7

(ii) para M = 10:

(56 + N) / 7 = 10 ? 56 + N = 70 ? N = 14

(iii) para M = 11:

(56 + N) / 7 = 11 ? 56 + N = 77 ? N = 21

Assim os valores de N que satisfazem o enunciado são: 7 e 21.

A soma dos possíveis valores de N é 7 + 21 = 28.

4° ? Avaliação

Os resultados obtidos satisfazem o enunciado.

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