Questão 52 ? Formação Básica do Professor e Formação Específica do Professor ? 2.007 ? Estado de São Paulo
Matemática

Questão 52 ? Formação Básica do Professor e Formação Específica do Professor ? 2.007 ? Estado de São Paulo


Dados os conjuntos
A = {x ? R : x2 < 1} e B = {x ? R : 1 / x < 2}

pode-se afirmar que

(A) A ? B = ]1/2 , 1[
(B) A ? B = ] ?1 , 0[ È ]1/2 , 1[
(C) A ? B = ] ?1 , 1/2[
(D) A ? B = ] ?1 , 0[ È ]1/2 , +?[
(E) A ? B = ] ?? , 1/2[

Solução: (B)

Para resolver esta questão devemos realizar o estudo dos sinais de cada equação. Temos vários métodos para realizar este estudo. Utilizo comumente o método apresentado no livro "Introduccion al Calculo" de  James Stewart. 

Para a equação do conjunto ?A?.

x2 < 1 ? x2 ? 1 < 0 (inequação do segundo grau)

Considerando x2 ? 1 = 0, obtemos as raízes ?1 e 1.


]?? , ?1[
]?1 , 1[
]1 , +?[
x2 ? 1
+
?
+

Pelo estudo de sinal sabemos que o conjunto solução desta equação são os números que pertencem ao intervalo: ] ?1 , 1[ .
Para a equação do conjunto ?A?.

1 / x < 2 ? 1 / x ? 2 < 0 ? (1 ? 2 ? x) / x < 0 (inequação quociente)

Na inequação quociente devemos levar em consideração o fato de a incógnita estar no denominador, já que neste caso temos restrições na solução.

Resolvemos a equação do numerador e do denominador de forma separada:

Para o numerador:

 1 ? 2 ? x = 0 ? x = 1 / 2

Para o denominador

Neste caso sendo o denominador apenas x temos uma restrição, pois o denominador pode ser qualquer número real diferente de 0, logo x ? 0.


]?? , 0[
]0 , 1/2[
]1/2 , +?[
1 ? 2 x
+
+
?
x
?
+
+
(1 ? 2 x) / x
?
+
?

Pelo estudo de sinal sabemos que o conjunto solução desta equação são os números que pertencem ao intervalo: ] ?? , 0[ ? ]1/2 , +?[ .

Para chegar à conclusão final, temos que analisar o que ocorre com o sinal em ambas às equações em relação aos intervalos dados pelos números {-1, 0, 1/2, 1}:


]?? , ?1[
]?1 , 0[
]0 , 1/2[
]1/2 , 1[
]1 , +?[
x2 ? 1
+
?
?
?
+
(1 ? 2 x) / x
?
?
+
?
?

As alternativas se referem a união (?)  e a intersecção (?) entre os conjuntos A e B.

A ? B são os intervalos que satisfazem qualquer um dos conjuntos, ou seja, são os intervalos no qual as equações geram resultados negativos, neste caso são todos os números reais exceto o 0. logo:

A ? B  = R ? {0}

A ? B são todos os resultados que satisfazem ambos os conjuntos, ou seja, são os intervalos no qual ambas as equações geram resultados negativos, neste caso são todos os intervalos que s exceto o 0, neste caso são os intervalos  ]?1 , 0[ e ]1/2 , 1[ , logo:

A ? B  = ]?1 , 0[ ? ]1/2 , 1[

A resolução poderia ser realizada graficamente. Na Figura 1, apresento os gráficos das equações.

Figura 1: Gráfico das Equações do Conjunto A e do Conjunto B.

Pelo gráfico podemos determinar a solução do problema. Observe que temos que reorganizar ambas as equações obtendo para o conjunto A: x2 ? 1 < 0, e para o conjunto B: (1 ? 2 ? x) / x < 0, no conjunto B temos uma restrição por se tratar de um quociente, então x ? 0. 

Como ambos os conjuntos são formados por números negativos e não nulos. Observamos os intervalos ]?1 , 0[ , ]0 , 1/2[ e ]1/2 , 1[ . 

Somente entre os intervalos ]?1 , 0[ e ]1/2 , 1[ temos partes de ambos os gráficos, então são estes intervalos que satisfazem a condição de A ? B, explicado anteriormente.

Resolução a pedido da Profª. Ane.





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