Matemática

Radical duplo na soma de dois simples.

Na obra de Sebastião e Silva incluem-se livros escolares do liceu: de Matemática “clássica”, os Compêndios de Álgebra para o 6.º e 7.º anos (em colaboração com J. da Silva Paulo), Geometria Analítica, para o 7.º ano; de Matemática “moderna”, o Compêndio de Matemática I, II e III e respectivos Guias (Texto-piloto segundo o projecto executado pelo Ministério da Educação Nacional em cooperação com a O.C.D.E.).

Estes últimos serviram para apoiar os professores e alunos das turmas piloto que seguiram, em finais de 1960 e princípios de 1970, um programa inovador, por ele concebido, considerado de nível internacional.

Eu segui o programa antigo e só contactei com o primeiro livro de Sebastião e Silva de Matemática “moderna”, já no início do meu primeiro ano do Técnico, para aprender melhor uma breve introdução à Lógica que iniciava as Matemáticas Gerais, em 68/69, do Prof. Campos Ferreira, um dos seus seguidores.

Sempre achei a exposição dos seus livros excelente e, ao mesmo tempo, cativadora e rigorosa. Foi à Álgebra do meu 7.º ano (pp.141-144) que recorri para relembrar uma transformação de um radical duplo na soma de dois simples, que é enunciada sob a forma do seguinte problema:

« Dados dois números racionais positivos $A$ e $B$ , não sendo $B$ um quadrado perfeito, determinar dois números racionais positivos $x$ e $y$ tais que
$\sqrt{A\pm\sqrt{B}}=\sqrt{x}\pm\sqrt{y}$
Comecemos pelo caso
$\sqrt{A+\sqrt{B}}=\sqrt{x}+\sqrt{y}$
(…)
Esses números [ $x$ e $y$ ] são (…) as raízes da equação
$X^2-AX+\dfrac{B}{4}=0$
as quais são dadas pelas expressões:
$\dfrac{A+\sqrt{A^2-B}}{2}\qquad\text{e}\qquad\dfrac{A-\sqrt{A^2-B}}{2}$ .
Podemos agora escolher um destes dois valores para $x$ ; o outro será o correspondente valor de $y$ . Como $x$ e $y$ devem ser racionais , sem o que a decomposição , que se pretende, deixa de existir, é necessário que $A^2-B$ seja um quadrado perfeito. (…) se pusermos $\sqrt{A^2-B}=C$ , será $C$ um número racional e o mesmo se poderá dizer dos números
$\dfrac{A+C}{2}\qquad\text{e}\qquad\dfrac{A-C}{2}$
que são as soluções da equação. (…)
Consideremos agora o caso
$\sqrt{A-\sqrt{B}}=\sqrt{x}-\sqrt{y}$
(…) O valor de $x$ deverá, aqui, ser $\dfrac{A+C}{2}$ para que a diferença
$\sqrt{x}-\sqrt{y}=\sqrt{\dfrac{A+C}{2}}-\sqrt{\dfrac{A-C}{2}}$
resulte positiva, visto ser positivo o radical $\sqrt{A-\sqrt{B}}$ que lhe é igual. »

Este resultado permitiu-me facilmente chegar à solução do problema publicado nesta minha entrada, como expliquei aqui.
Actualização de 20-12-2009: acrescentada figura do livro e referidas as páginas onde a transformação é tratada.
Adenda de 23-5-2011: Em comentário abaixo andreelopess indica a sequinte igualdade

$\dfrac{3}{\sqrt{7-2\sqrt{10}}}+\dfrac{4}{\sqrt{8+4\sqrt{3}}}=\dfrac{1}{\sqrt{11-2\sqrt{30}}}\qquad (\ast)$

que, por racionalização de denominadores, se transforma em

$\sqrt{7+2\sqrt{10}}+\sqrt{8-4\sqrt{3}}=\sqrt{11+2\sqrt{30}}\qquad (\ast\ast)$

Aplicando o método exposto conclui-se que

$\sqrt{7+2\sqrt{10}}=\sqrt{5}+\sqrt{2}$

$\sqrt{8-4\sqrt{3}}=\sqrt{6}-\sqrt{2}$

$\sqrt{11+2\sqrt{30}}=\sqrt{6}+\sqrt{5}$

pelo que efectivamente se tem $(\ast\ast)$ . Depois de cálculos fastidiosos concluo ser equivalente a

$\left( 2+\sqrt{2}\sqrt{5}+2\sqrt{14-7\sqrt{3}+4\sqrt{2}\sqrt{5}-2\sqrt{3}\sqrt{2}\sqrt{5}}-2\sqrt{3}\right) ^{2}=30$

que confrontei com o resultado em Wolfram Alpha: aqui

Adenda de 24-5-2011: Como escrevo em baixo Sem utilizar o método exposto no post é fácil não digo encontrar, mas justificar as relações numéricas, depois de conhecida a decomposição. Basta elevar ao quadrado ambos os membros.

Fonte:problemasteoremas.wordpress.com

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