Matemática
Nesta postagem, veremos que:
\begin{equation*}
\int \frac{x^2+1}{x^2-1}dx = x+ \ln|x-1|- \ln|x+1| + C
\end{equation*}
onde $x \in \mathbb{R}$, sendo $x \neq \pm 1$.
Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \frac{x^2+1}{x^2-1}dx
\end{equation*}
Decompomos o integrando como uma soma de frações unitárias:
\begin{equation*}
I = \int \left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} + 1\right) dx
\end{equation*}
Integrando termo a termo:
\begin{equation*}
I = \int\frac{dx}{x-1} - \int \frac{dx}{x+1} +\int dx
\end{equation*}
Para o integrando$\displaystyle \frac{1}{x-1}$, fazemos a substituição $u = x-1$ e $du=dx$:
\begin{equation*}
I = \int \frac{du}{u} - \int \frac{dx}{x+1} + \int dx
\end{equation*}
Para o integrando $\displaystyle \frac{1}{x+1}$, fazemos a substituição $v=x+1$ e $dv=dx$:
\begin{equation*}
I = \int \frac{du}{u} - \int \frac{dv}{v} + \int dx
\end{equation*}
A integral de $1/u$ é $\ln |u|$. A integral de $1/v$ é $\ln |v|$ e a integral de $1$ é $x$. Assim:
\begin{equation*}
I = \ln |u| - \ln |v| + x + C
\end{equation*}
Mas $u=x-1$ e $v=x+1$. Logo:
\begin{equation*}
I = x + \ln |x-1| - \ln |x+1| + C
\end{equation*}
Para calcularmos a área entre a curva $f(x)$ e o eixo dos $x$, utilizamos o conceito de integral definida:
\begin{equation*}
A = \int_{-1/2}^{1/2} \frac{x^2+1}{x^2-1} dx
\end{equation*}
Sabendo que:
\begin{equation*}
\int \frac{x^2+1}{x^2-1} dx = x +\ln|x-1| - \ln |x+1|
\end{equation*}
Obtemos:
\begin{equation*}
A = \left[x + \ln|x-1| - \ln|x+1| \right]_{-1/2}^{1/2}\\
\ \\
A = \left(\frac{1}{2} + \ln \left| \frac{1}{2}-1\right| - \ln\left|\frac{1}{2}+1\right|\right) - \left(-\frac{1}{2} + \ln\left|-\frac{1}{2}-1\right| - \ln \left|-\frac{1}{2}+1\right|\right)\\
\ \\
A = \frac{1}{2} + \ln\left|-\frac{1}{2}\right| - \ln \left|\frac{3}{2}\right| + \frac{1}{2} - \ln \left|-\frac{3}{2}\right| + \ln\left|\frac{1}{2}\right|\\
\ \\
A \approx -1,1972246
\end{equation*}
O valor negativo só quer dizer que a curva no intervalo especificado, encontra-se sob o eixo dos $x$. Assim, a área compreendida entre a curva $f(x)$ e o eixo dos $x$, no intervalo $[-1/2,1/2]$, vale aproximadamente $1,1972346$.
Integração por substituição
Integração por partes
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{1}{ax+b}\ Dx$
Nesta postagem vermos que: \begin{equation*} \int \frac{1}{ax+b}\ dx = \frac{1}{a}\ln |ax+b| + C \end{equation*} onde $a$ e $b$ $\in \mathbb{R}$, sendo $a \neq 0$. [Família de funções integráveis do tipo $\displaystyle \frac{1}{ax+b}$] Seja a integral:...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int$ $\frac{1}{ax^2+bx+c}\ Dx$
Nesta postagem, vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{ax^2+bx+c}\ dx = 2\ \text{arctg}\left( \frac{2ax+b}{\displaystyle \sqrt{a}\sqrt{4c-\frac{b^2}{a}}} \right) + C \end{equation*} onde $a$, $b$ e $c$ são constantes, onde $a$, $b$ e $c$ ...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a}\ Dx$
Nesta postagem, vamos provar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{x^2+a}\ dx = \frac{\displaystyle \text{arctg}\left( \frac{x}{\sqrt{a}}\right)}{\sqrt{a}}+C \end{equation*} onde $a$ é uma constante, tal que $a \in \mathbb{R}^\ast$, sendo $x^2+a \neq...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a^2}dx$
Nesta postagem, vamos provar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{x^2+a^2}\ dx = \frac{1}{a}\text{arctg}\left(\frac{x}{a}\right) + C \end{equation*} onde $a$ é uma constante, tal que $a \in \mathbb{R}^\ast$, sendo $x^2 + a^2 \neq 0$. Seja a integral:...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \text{sen}^2 (ax)dx$
Nesta postagem, vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \text{sen}^2(ax)dx = \frac{x}{2} - \frac{\text{sen}(2ax)}{4a} + C \end{equation*} onde $a \in \mathbb{R}$ e $a \neq 0$. Seja a integral: \begin{equation*} I = \int \text{sen}^2(ax)dx \end{equation*}...
Matemática
Resolução da Integral $\displaystyle \int \frac{x^2+1}{x^2-1}dx$
Nesta postagem, veremos que:
\begin{equation*}
\int \frac{x^2+1}{x^2-1}dx = x+ \ln|x-1|- \ln|x+1| + C
\end{equation*}
onde $x \in \mathbb{R}$, sendo $x \neq \pm 1$.
Seja a integral:
\begin{equation*}
I = \int \frac{x^2+1}{x^2-1}dx
\end{equation*}
Decompomos o integrando como uma soma de frações unitárias:
\begin{equation*}
I = \int \left(\frac{1}{x-1} - \frac{1}{x+1} + 1\right) dx
\end{equation*}
Integrando termo a termo:
\begin{equation*}
I = \int\frac{dx}{x-1} - \int \frac{dx}{x+1} +\int dx
\end{equation*}
Para o integrando$\displaystyle \frac{1}{x-1}$, fazemos a substituição $u = x-1$ e $du=dx$:
\begin{equation*}
I = \int \frac{du}{u} - \int \frac{dx}{x+1} + \int dx
\end{equation*}
Para o integrando $\displaystyle \frac{1}{x+1}$, fazemos a substituição $v=x+1$ e $dv=dx$:
\begin{equation*}
I = \int \frac{du}{u} - \int \frac{dv}{v} + \int dx
\end{equation*}
A integral de $1/u$ é $\ln |u|$. A integral de $1/v$ é $\ln |v|$ e a integral de $1$ é $x$. Assim:
\begin{equation*}
I = \ln |u| - \ln |v| + x + C
\end{equation*}
Mas $u=x-1$ e $v=x+1$. Logo:
\begin{equation*}
I = x + \ln |x-1| - \ln |x+1| + C
\end{equation*}
Exemplo $1$
Calcular a área entre a curva $\displaystyle f(x) \frac{x^2+1}{x^2-1}$ e o eixo dos $x$, compreendida no intervalo $\left[ -\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$.Para calcularmos a área entre a curva $f(x)$ e o eixo dos $x$, utilizamos o conceito de integral definida:
\begin{equation*}
A = \int_{-1/2}^{1/2} \frac{x^2+1}{x^2-1} dx
\end{equation*}
Sabendo que:
\begin{equation*}
\int \frac{x^2+1}{x^2-1} dx = x +\ln|x-1| - \ln |x+1|
\end{equation*}
Obtemos:
\begin{equation*}
A = \left[x + \ln|x-1| - \ln|x+1| \right]_{-1/2}^{1/2}\\
\ \\
A = \left(\frac{1}{2} + \ln \left| \frac{1}{2}-1\right| - \ln\left|\frac{1}{2}+1\right|\right) - \left(-\frac{1}{2} + \ln\left|-\frac{1}{2}-1\right| - \ln \left|-\frac{1}{2}+1\right|\right)\\
\ \\
A = \frac{1}{2} + \ln\left|-\frac{1}{2}\right| - \ln \left|\frac{3}{2}\right| + \frac{1}{2} - \ln \left|-\frac{3}{2}\right| + \ln\left|\frac{1}{2}\right|\\
\ \\
A \approx -1,1972246
\end{equation*}
O valor negativo só quer dizer que a curva no intervalo especificado, encontra-se sob o eixo dos $x$. Assim, a área compreendida entre a curva $f(x)$ e o eixo dos $x$, no intervalo $[-1/2,1/2]$, vale aproximadamente $1,1972346$.
Veja mais:
Lista de resolução de integraisIntegração por substituição
Integração por partes
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{1}{ax+b}\ Dx$
Nesta postagem vermos que: \begin{equation*} \int \frac{1}{ax+b}\ dx = \frac{1}{a}\ln |ax+b| + C \end{equation*} onde $a$ e $b$ $\in \mathbb{R}$, sendo $a \neq 0$. [Família de funções integráveis do tipo $\displaystyle \frac{1}{ax+b}$] Seja a integral:...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int$ $\frac{1}{ax^2+bx+c}\ Dx$
Nesta postagem, vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{ax^2+bx+c}\ dx = 2\ \text{arctg}\left( \frac{2ax+b}{\displaystyle \sqrt{a}\sqrt{4c-\frac{b^2}{a}}} \right) + C \end{equation*} onde $a$, $b$ e $c$ são constantes, onde $a$, $b$ e $c$ ...
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Nesta postagem, vamos provar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{x^2+a}\ dx = \frac{\displaystyle \text{arctg}\left( \frac{x}{\sqrt{a}}\right)}{\sqrt{a}}+C \end{equation*} onde $a$ é uma constante, tal que $a \in \mathbb{R}^\ast$, sendo $x^2+a \neq...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \frac{1}{x^2+a^2}dx$
Nesta postagem, vamos provar que: \begin{equation*} \int \frac{1}{x^2+a^2}\ dx = \frac{1}{a}\text{arctg}\left(\frac{x}{a}\right) + C \end{equation*} onde $a$ é uma constante, tal que $a \in \mathbb{R}^\ast$, sendo $x^2 + a^2 \neq 0$. Seja a integral:...
- Resolução Da Integral $\displaystyle \int \text{sen}^2 (ax)dx$
Nesta postagem, vamos demonstrar que: \begin{equation*} \int \text{sen}^2(ax)dx = \frac{x}{2} - \frac{\text{sen}(2ax)}{4a} + C \end{equation*} onde $a \in \mathbb{R}$ e $a \neq 0$. Seja a integral: \begin{equation*} I = \int \text{sen}^2(ax)dx \end{equation*}...