Matemática
Resolução de Equações do 3º Grau ou Cúbicas
A forma
canónica da equação cúbica ou do 3.º grau é:

com

O método de resolução usual começa por transformá-la noutra, fazendo a substituição

:
Dividindo por

e ordenando o polinómio do lado esquerdo pelas potências decrescente de

, obtemos ? se escolhermos

? uma nova equação cúbica (em

) à qual falta o termo do 2.º grau:
cujos coeficientes são:
e
Se exprimirmos a variável

na soma de duas outras
a equação

transforma-se em
Uma solução de

é a dada pelo sistema em

e

Somos assim conduzidos ao problema de achar dois números

e

dos quais se sabe a soma

e o produto

.
Como é bem sabido esses números são as duas soluções

e

da
equação auxiliar do 2.º grau:
De fato
e
Resolvendo-a determinamos
Nesta notação o discriminante

é igual a

.
Consideremos, sem perda de generalidade,

e

. Introduzindo

e

em

, obtemos
a solução
![t_{1}=\sqrt[3]{Y_{+}}+\sqrt[3]{Y_{-}} t_{1}=\sqrt[3]{Y_{+}}+\sqrt[3]{Y_{-}}](http://s0.wp.com/latex.php?latex=t_%7B1%7D%3D%5Csqrt%5B3%5D%7BY_%7B%2B%7D%7D%2B%5Csqrt%5B3%5D%7BY_%7B-%7D%7D&bg=ffffff&fg=000000&s=0)
:
ou seja
e uma solução da equação inicial
Conhecida a solução

, podemos determinar as duas restantes

e

decompondo o polinómio do primeiro
membro de

num produto de fatores lineares:
ou
Os dois polinómios são equivantes se tiverem iguais coeficientes homólogos:
Novamente temos de determinar dois números

e

dos quais se conhece a soma (

) e o produto
(

). Para esse fim formamos a equação do 2.º grau:
que resolvida dá as soluções
As três soluções da equação em

são então:
No caso do
discriminante ser negativo,

, convertemos os complexos conjugados

e

à forma trigonométrica
Os módulos são iguais:
e os argumentos são simétricos, sendo o de

:
As três raízes cúbicas de

e

são (

)
Obtemos, respectivamente, para

,

e

as três soluções da equação

:
e as da equação original

:
EXEMPLOS
1. DETERMINE AS SOLUÇÕES DA EQUAÇÃO:
Os coeficientes são:
Pondo
a equação transforma-se em:
uma vez que os seus coeficientes são:
e
As suas soluções são

, a que correspondem as da equação na forma canónica

2. RESOLVA A EQUAÇÃO
Agora temos
Como era de esperar a substituição é
e os coeficientes da equação em

são simplesmente os da equação inicial divididos por

:
e
O discriminante é negativo
Assim, como

:
Tentando diminuir os erros de cálculo, reparemos que o inteiro

é uma solução. Se recalcularmos as outras duas, obtemos as soluções exatas:
e
3. RESOLVA A EQUAÇÃO
Os coeficientes são:
Fazendo a substituição
obtém-se a equação
em que
e
Uma solução da equação em

é dada pela fórmula:
a que corresponde a solução da equação em

:
As restantes soluções da equação em

são
e, portanto, as da equação em

são
REFERÊNCIAS
Blog Problemas e Teoremas.
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matemática que possui em sua composição incógnitas, coeficientes, expoentes e um sinal de igualdade. As equações são caracterizadas de acordo com o maior expoente de uma das incógnitas. Veja: 2x + 1 = 0, o expoente da incógnita x é igual a 1....
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