Seção de Problemas ? Nº 6
Hoje trago uma nova seção de problemas a vocês. A partir desta seção de problemas, vou apenas resolver os problemas requisitados pelos leitores. Como, desde a ultima não houve problemas requisitados, não resolverei problemas, apenas darei dicas sobre os problemas atuais.
Teoria dos Números
1 ? Mostre que, se mdc(a,2n+1) = 2n e mdc(b, 2n+1) = 2n então mdc(a+b, 2n+1) = 2n+1
2 ? (IMO ? 1989) Mostre que, para todo n natural, há um bloco de n inteiros consecutivos no qual não há potências de números primos.
3 ? Definamos
Mostre que a imagem da função
É justamente o conjunto dos números primos.
Álgebra
4 ? (Harvard-MIT 2012) Seja a0 = -2, b0=1 e, para todo n >1, temos
Ache a2012.
5 ? (Harvard-MIT 2012) Seja x1 = x2 = y1 = y2 = 1, e, para todo n > 2, sejam
Quais são os dois últimos dígitos da representação decimal de |x2012|?
6 ? (Harvard-MIT 2012) Nos finais de semana, Eli entrega leite no plano complexo. No sábado, ele começa no complexo z e vai para 
, nessa ordem. No domingo, ele começa do 1 e vai para 
, também nesta ordem. Eli anda diretamente (em linha reta) entre duas casas. Se a distância que ele anda do primeiro ponto até o último ponto é 
em ambos os dias, ache a parte real de z².
Geometria
7 ? Seja H o ortocentro de um triângulo ABC. Prove que as retas de Euler dos triângulos ABC, BCH, CAH, ABH São todas concorrentes. Em que ponto notável elas são concorrentes?
8 ? (Estônia) As medianas relativas aos vértices A e B do triângulo ABC são perpendiculares. Mostre que AB é o menor lado do triângulo.
Combinatória
9 ? (Resta Um) O clássico jogo do resta um é jogado em um tabuleiro formado por 5 quadrados 3x3, colocados um acima do outro em forma de cruz, como na figura, com a casa central sem peças, e as restantes com peças. Determine em quais casas podemos terminar o jogo do resta um.
10 ? Temos camaleões de 3 cores, digamos, vermelho, amarelo a azul. Se dois camaleões se encontram, então eles ficam com a mesma cor, diferente das de cada um camaleão. Suponhamos que só haja encontros entre dois cameleões por vez. Encontre todos os pares de (a,b,c), onde a é a quantidade de camaleões vermelhos, b a de amarelos e c a de verdes tal que possa haver uma maneira de, ao final, todos os camaleões estarem de uma mesma cor.
Dicas e Fatos que Ajudam
1 ? Use o Teorema Fundamental da Aritmética, aliado à propriedade de que a soma de dois ímpares é um par.
2 ? Considere os números da forma ((n+1)!)² + k, onde 1<k < n + 2.
3 ? Analise os dois casos para o módulo de |a² - 1|, e em um deles complemente com o teorema de Wilson.
4 ? Ache uma relação entre o produto e a soma de cada an e bn.
5 ? Utilize multiplicação de números complexos para achar uma recorrência que dê xn explicitamente. Feito isso, considere x2012 módulo 100, e, com a ajuda do teorema de Euler, utilize o resultado desejado.
6 ? Utilize a distância de dois complexos w e z no plano ser |z ? w|, e compare os dois somatórios para achar o módulo de z. Feito isso, achar a parte imaginária de z² fica fácil, com auxílio da forma trigonométrica.
7 ? Prove a relação desejada para apenas uma reta de Euler, e faça o análogo para as outras (elas se intersectam no centro círculo dos nove pontos)
8 ? É uma aplicação direta do teorema do baricentro e do teorema de Pitágoras.
9 ? Colora o tabuleiro com três cores, uma em cada diagonal, e prove que só pode acabar em determinadas casas. Simetrizar esse processo, só até obter casas que são suas próprias simétricas, que serão as casas que nos darão os resultados.
10 ? Repare que a quantidade de cada cor é sempre ?aumentada? de 2 módulo 3. Com isso, prove que basta que dois números a,b sejam côngruos módulo 3 para que o desejado ocorra.
Bom, por enquanto é só. Fiquem ligados para mais material teórico e problemas no blog.
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