Matemática
Oi, pessoal!
- Algumas Provas De Que $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} $
Nosso objetivo de hoje será calcular a soma dos inversos dos quadrados dos naturais de algumas maneiras distintas, obtendo assim uma pequena coleção de belas provas de tal fato. Teorema: $$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}...
- Feliz Natal À Todos!
Um Feliz Natal à todos os leitores do blog Giga Matemática, que vocês realizem seus sonhos e que o próximo ano seja de bastante alegria e prosperidade à todos!!! $$\oint\exists\ell\mathbb{I}\mathbb{Z}\quad\mathbb{N}\forall\top\alpha\angle\ !$$...
- O Problema Da Constante De Euler-mascheroni
Este problema foi enviado pelo leitor e colaborador Prof. Aldenor Lemos, a motivação desta postagem veio do livro Logaritmos do Elon. o problema é o seguinte: Mostre que a soma é maior do que e conclua que . Isto se escreve também assim: Solução:...
- Introdução Aos Números Algébricos E Transcendentes
Mostramos em uma postagem anterior que o número é irracional, mas existe um fato interessante quanto a esse número: Dado temos que continua sendo irracional. Mas por que isso ocorre? Teremos de mostrar isso para cada ? O número , assim...
- Teste Da Integral Para Convergência De Séries
O teorema conhecido como teste da integral (ou teste de Leibniz) para verificar convergências de séries, faz uso da teoria de integrais impróprias. Teorema $1$:Se $f(n)$ representa o termo geral $u_n$ de uma série numérica infinita de termos positivos,...
Matemática
Matemática Através de Problemas - VI
Oi, pessoal!
Dada a falta de tempo dos administradores do blog, não estamos conseguindo postar muito conteúdo. Para compensar a falta de material novo, apresentamos aqui mais uma leva de problemas interessantes:
1 - Ache todas as funções contínuas $ H : L^1(\mathbb{R}^n) \rightarrow \mathbb{C}$ tais que $H$ é linear e $H(f*g) = H(f)H(g)$.
2 - (Rearranjo de Hardy-Littlewood)
(a) Sejam $ \{a_i\}$ e $\{b_i\}$ duas sequências de reais positivos. Se $\{c_i\}$, $\{d_i\}$ são, respectivamente, seus rearranjos decrescentes (i.e., $\{c_i\}= \{a_i\}$, $\{d_i\}=\{b_i\}$, com $c_1 \ge c_2 \ge c_3 \ge \cdots \ge c_n$, $d_1 \ge d_2 \ge d_3 \ge\cdots \ge d_n$), mostre que
$$ \sum_{i=1}^n a_i b_i \le \sum_{i=1}^n c_i d_i $$
(b) Mostre que, se f, g são funções mensuráveis, e se f*, g* são seus rearranjos decrescentes (c.f. Wikipedia ) definidos em R, então
$$ \int_{\mathbb{R}^n} f(x)g(x) dx \le \int_{0}^{\infty} f^{*} (t) g^*(t) dt $$
3 - Seja V espaço vetorial. Suponha que, neste espaço vetorial, tenhamos uma forma bilinear $ a: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$, e que são conhecidos apenas os valores de $a(v,v), \forall v \in V$. Mostre que, de fato, conhecemos todos os valores $a(u,v) \forall u,v \in V$.
4 - Seja V um espaço vetorial dotado de um produto interno $\langle , \rangle$. Dada uma base $\{u_1,\cdots, u_n\}$, prove que existe uma base ortogonal $\{v_1,...,v_n\}$, e descreva explicitamente uma tal base.
5 - Mostre que, para todo conjunto Boreliano $E \subset [0,1]$, temos que
$$ \int_E x^{-1/2} dx \le 2 m(E)^{1/2} $$
6 - Suponha que São dados $n$ pontos $w_1,...,w_n$ na circunferência unitária do plano complexo. Mostre que existe um ponto $w$ tal que o produto das distâncias $|w-w_i|$ é maior estritamente que 1. Você é capaz de dar cotas melhores? Tente provar que existe um ponto tal que este produto é $\ge 2$.
7 - Seja $P(x)$ um polinômio. Mostre que
$$ \int_0 ^{\infty} e^{-x} P(x) dx = P(0) + P'(0) + P''(0) + \cdots $$
2 - (Rearranjo de Hardy-Littlewood)
(a) Sejam $ \{a_i\}$ e $\{b_i\}$ duas sequências de reais positivos. Se $\{c_i\}$, $\{d_i\}$ são, respectivamente, seus rearranjos decrescentes (i.e., $\{c_i\}= \{a_i\}$, $\{d_i\}=\{b_i\}$, com $c_1 \ge c_2 \ge c_3 \ge \cdots \ge c_n$, $d_1 \ge d_2 \ge d_3 \ge\cdots \ge d_n$), mostre que
$$ \sum_{i=1}^n a_i b_i \le \sum_{i=1}^n c_i d_i $$
(b) Mostre que, se f, g são funções mensuráveis, e se f*, g* são seus rearranjos decrescentes (c.f. Wikipedia ) definidos em R, então
$$ \int_{\mathbb{R}^n} f(x)g(x) dx \le \int_{0}^{\infty} f^{*} (t) g^*(t) dt $$
3 - Seja V espaço vetorial. Suponha que, neste espaço vetorial, tenhamos uma forma bilinear $ a: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$, e que são conhecidos apenas os valores de $a(v,v), \forall v \in V$. Mostre que, de fato, conhecemos todos os valores $a(u,v) \forall u,v \in V$.
4 - Seja V um espaço vetorial dotado de um produto interno $\langle , \rangle$. Dada uma base $\{u_1,\cdots, u_n\}$, prove que existe uma base ortogonal $\{v_1,...,v_n\}$, e descreva explicitamente uma tal base.
5 - Mostre que, para todo conjunto Boreliano $E \subset [0,1]$, temos que
$$ \int_E x^{-1/2} dx \le 2 m(E)^{1/2} $$
6 - Suponha que São dados $n$ pontos $w_1,...,w_n$ na circunferência unitária do plano complexo. Mostre que existe um ponto $w$ tal que o produto das distâncias $|w-w_i|$ é maior estritamente que 1. Você é capaz de dar cotas melhores? Tente provar que existe um ponto tal que este produto é $\ge 2$.
$$ \int_0 ^{\infty} e^{-x} P(x) dx = P(0) + P'(0) + P''(0) + \cdots $$
Dicas e Sugestões
1 - Use o Teorema de Representação para $L^1$ para concluir que
$$ H(f) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x) \alpha (x) dx $$
Para alguma função $\alpha \in L^{\infty}$. Use a propriedade de que $H$ respeita convoluções para concluir que, para $f,g$, temos que
$$ \int_{\mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n} f(x)g(x) \alpha (x) \alpha (y) dx dy = H(f)H(g) = \\ = H(f*g) = \int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n} f(x-y)g(y)\alpha(x) dx dy = \int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n} f(x)f(y) \alpha(x+y) dx dy $$
Isso implica que $\alpha(x+y) = \alpha(x) \alpha(y)$ para quase todo par $(x,y) \in {\mathbb{R}^n}\times {\mathbb{R}^n}$. É conhecido, porém, que isto implica que $\alpha(x) = e^{a \cdot x}$, $a \in {\mathbb{C}^n}$. Use que $\alpha \in L^{\infty}$ Para concluir.
2 - Uma prova das desigualdades pode ser facilmente obtida adaptando o argumento dado aqui. Contudo, é possível provar (a) diretamente fatorando a soma da direita menos a da esquerda, e (b) pode ser provado aproximando funções mensuráveis por funções simples.
3 - Mostre que $a(u,v) = \frac{1}{2} (a(u+v,u+v) - a(u,u) - a(v,v) )$.
4 - Argumente indutivamente. Ache $v_n$ em função de $v_1,...,v_{n-1},u_n$ como um elemento mutuamente ortogonal a $v_1,...,v_{n-1}$ achado a partir de $u_n$. Para mais detalhes, veja aqui.
5 - Comece mostrando para $E$ um intervalo. Mostre que, mais geralmente, para qualquer aberto $O$, temos que
$$ \int_O t^{-1/2} dt \le \int_0^{m(O)} t^{-1/2} dt $$
Onde $m(O)$ é a medida de $O$. Aproxime um boreliano por um aberto para concluir.
6 - Considere $P(z) = (z-w_1)\cdots(z-w_n)$. Use que $|P(0)|=1$ e o princípio do máximo para concluir. Veja aqui para uima cota melhor.
7 - Integre por partes sucessivamente e use indução.
3 - Mostre que $a(u,v) = \frac{1}{2} (a(u+v,u+v) - a(u,u) - a(v,v) )$.
4 - Argumente indutivamente. Ache $v_n$ em função de $v_1,...,v_{n-1},u_n$ como um elemento mutuamente ortogonal a $v_1,...,v_{n-1}$ achado a partir de $u_n$. Para mais detalhes, veja aqui.
5 - Comece mostrando para $E$ um intervalo. Mostre que, mais geralmente, para qualquer aberto $O$, temos que
$$ \int_O t^{-1/2} dt \le \int_0^{m(O)} t^{-1/2} dt $$
Onde $m(O)$ é a medida de $O$. Aproxime um boreliano por um aberto para concluir.
6 - Considere $P(z) = (z-w_1)\cdots(z-w_n)$. Use que $|P(0)|=1$ e o princípio do máximo para concluir. Veja aqui para uima cota melhor.
7 - Integre por partes sucessivamente e use indução.
- Algumas Provas De Que $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} $
Nosso objetivo de hoje será calcular a soma dos inversos dos quadrados dos naturais de algumas maneiras distintas, obtendo assim uma pequena coleção de belas provas de tal fato. Teorema: $$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}...
- Feliz Natal À Todos!
Um Feliz Natal à todos os leitores do blog Giga Matemática, que vocês realizem seus sonhos e que o próximo ano seja de bastante alegria e prosperidade à todos!!! $$\oint\exists\ell\mathbb{I}\mathbb{Z}\quad\mathbb{N}\forall\top\alpha\angle\ !$$...
- O Problema Da Constante De Euler-mascheroni
Este problema foi enviado pelo leitor e colaborador Prof. Aldenor Lemos, a motivação desta postagem veio do livro Logaritmos do Elon. o problema é o seguinte: Mostre que a soma é maior do que e conclua que . Isto se escreve também assim: Solução:...
- Introdução Aos Números Algébricos E Transcendentes
Mostramos em uma postagem anterior que o número é irracional, mas existe um fato interessante quanto a esse número: Dado temos que continua sendo irracional. Mas por que isso ocorre? Teremos de mostrar isso para cada ? O número , assim...
- Teste Da Integral Para Convergência De Séries
O teorema conhecido como teste da integral (ou teste de Leibniz) para verificar convergências de séries, faz uso da teoria de integrais impróprias. Teorema $1$:Se $f(n)$ representa o termo geral $u_n$ de uma série numérica infinita de termos positivos,...