Matemática

Introdução aos números Algébricos e Transcendentes

Mostramos em uma postagem anterior que o número [;e;]

é irracional, mas existe um fato interessante quanto a esse número:

Dado $[;n\in \mathbb{N};]$ temos que continua sendo irracional.

Mas por que isso ocorre? Teremos de mostrar isso para cada $[;n\in\mathbb{N};]$ ?

O número [;e;]

, assim como outros números que apresentaremos aqui são o que denominamos transcendentes. Um número é transcendente quando não é algébrico. Assim, temos a definição a seguir:

Definição: Um número real é dito algébrico se é solução de alguma equação polinomial do tipo:

$[;a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0;]$ ,

sendo que os coeficientes são todos inteiros e $[;a_0\neq 0;]$ . Dizemos que um número é trancendente quando não for algébrico.

Exemplos:

é algébrico, pois é solução da equação ;
$[;\sqrt{2};]$ é algébrico, pois o mesmo é solução da equação polinomial . Note aqui que um número algébrico pode ser irracional;
$[;i=\sqrt{-1};]$ e são algébricos, pois são raízes de .Observe que a definição de números algébricos, e consequentemente transcendentais, se estende para os complexos.
Os números $[;\pi;]$ e são trancendentais;
O Teorema de Gelfond-Schneider garante que $[;2^{sqrt{2}};]$ e $[;e^{\pi};]$ são trancendentais;
O Teorema de Lindermann-Weiertrass diz que $[;e^{\sqrt{2}};]$ , e são transcendentais;
O número de Champernowne é transcendental.

Esses são só alguns exemplos pois Cantor mostrou que a maioria dos números são transcendentes, ele mostrou que o conjunto dos números transcendentes é não-enumerável.

Recentemente recebi uma pergunta de um leitor do blog:

"[Sandro Lima]: (...) demonstrar que "o número de euler "" elevado ao quadrado é irracional" e generalizar que " elevado a , um número natural, será sempre irracional"."

Para responder a pergunta acima enuciaremos o seguinte teorema:

Teorema: Se $[;\alpha;]$ é um número transcedente, então para todo $[;r\in\mathbb{N};]$ , $[;n\neq 0;]$ temos que $[;\alpha^r;]$ é transcendente.

Demonstração: Tomemos um número $[;\alpha;]$ transcendente, temos que $[;\alpha;]$ não é algébrico, ou seja, não existe um polinômio de coeficientes inteiros [;P(x);]

tal que $[;P(\alpha)=0;]$ ,

$[;a_n \alpha^n+a_{n-1} \alpha^{n-1}+\cdots+ a_r\alpha^r+\cdots+a_1\alpha+a_0\neq 0, \forall n\in \mathbb{N}, a_0\neq 0;]$

Desse modo, basta fixarmos $[;r\in\mathbb{N};]$ , note que se $[;k\in\mathbb{N};]$ então $[;rk\in\mathbb{N};]$ , assim tomamos a seguinte equação:

$[;a_{nr}\alpha^{nr}+a_{(n-1)r}\alpha^{(n-1)r}+\cdots+a_r\alpha^r+a_0\neq 0;]$

A equação acima continua válida, pois $[;\alpha;]$ é transcendente.

Temos que,

$[;a_{nr}(\alpha^r)^n+a_{(n-1)r}(\alpha^r)^{n-1}+\cdots+a_r(\alpha^r)+a_0\neq 0;]$ , $[;\forall n\in\mathbb{N};]$

Desse modo, $[;\alpha^r;]$ é transcendente, pois a equação polinomial acima é diferente de zero para qualquer [;n;]

natural, isso decorre do fato que $[;\alpha;]$ é transcendente.

Portanto, se $[;\alpha;]$ é transcendente, então $[;\alpha^r;]$ também é transcendente para todo $[;r\in\mathbb{N};]$ .

Corolário: [;e^2;]

é transcendente. De modo geral, [;e^r;]

é transcendente para todo [;r;]

natural.

Demonstração: Ora, [;e;]

é transcendente, logo pelo Teorema anterior basta tomarmos [;r=2;]

, assim

é transcendente. Note que o caso para [;r;]

natural se segue.

Tubo bem até aqui, mas o que o fato de um número ser transcendente tem haver com o fato dele ser irracional? TEM TUDO HAVER!!! Atente para a seguinte afirmação:

Afirmação: Se $[;\alpha;]$ é transcendente, então $[;\alpha;]$ é irracional.

Prova: Tome $[;\alpha;]$ um número transcendente. Suponha que ele seja racional, ou seja, existem $[;a,b\in\mathbb{Z},b\neq 0;]$ de modo que $[;\alpha=\frac{a}{b};]$ , assim $[;\alpha;]$ é algébrico (Basta tomar a equação [;bx-a=0;]

),contradição, pois $[;\alpha;]$ é transcendental.

Portanto, $[;\alpha;]$ é irracional.

Agora você pode perguntar: "Diego, dessa forma todo irracional é transcendente?" A resposta é NÃO, pois o número $[;\sqrt{2};]$ é irracional, já mostramos esse fato, porém o mesmo é algébrico (Basta tomar a equação [;x^2-2=0;]

). De posse dessas informações podemos responder a pergunta de nosso leitor.

Problema: Mostre que [;e^2;]

é irracional. Generalize o caso para [;r;]

natural e mostre que [;e^r;]

é irracional.

Solução: Pelo Corolário vimos que [;e^2;]

é transcendente, assim pela Afirmação temos que [;e^2;]

é irracional.

De modo geral, [;e^r;]

é transcendente para um [;r;]

natural, consequentemente, [;e^r;]

é irracional para todo [;r;]

natural.

Agradeço a todos que colaboram para fazer deste blog uma ferramenta muito útil para seu aprendizado. Até mais !

(Problema enviado pelo leitor Sandro Lima.)

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