Matemática

O Problema da Constante de Euler-Mascheroni

Este problema foi enviado pelo leitor e colaborador Prof. Aldenor Lemos, a motivação desta postagem veio do livro Logaritmos do Elon. o problema é o seguinte:

Mostre que a soma

$[;S_p=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{p};]$

é maior do que e conclua que $[;\lim_{p\to\infty}S_p=\infty;]$ . Isto se escreve também assim:

$[;1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{p}+\cdots=\infty;]$

Solução: Para todo [x;] diferente de zero é verdade que [;e^x>x+1;]

Basta ver que $[;e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots>1+x;]$ , assim [;e^x>1+x;]

(Você pode ver uma prova geométrica aqui) , daí:

Fazendo $[;x=\frac{1}{n};]$ , com $[;n\in\mathbb{N};]$ , temos:

$[;e^{\frac{1}{n}}>\frac{1}{n}+1;]$

Como a função logaritmo natural é monótona crecente (isto quer dizer que dados $[;a>b\Rightarrow ln a>ln b;]$ ), obtemos:

$[;ln\left(e^{\frac{1}{n}}\right)>ln\left(\frac{1}{n}+1\right)\Rightarrow \frac{1}{n}>ln\left(\frac{1}{n}+1\right);]$

Portanto,

$[;\sum_{n=1}^p\frac{1}{n}\quad>\sum_{n=1}^p ln\left(\frac{1}{n}+1\right);]$

Logo,

$[;1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{p}>ln(2)+ln\left(\frac{3}{2}\right)+ln\left(\frac{4}{3}\right)+\cdots+ln\left(\frac{p+1}{p}\right);]$

$[;S_p>ln\left(2\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{4}{3}\cdot\ldots\cdot\frac{p+1}{p}\right);]$

Conclusão:

$[;lim_{p\to\infty} S_p=\infty;]$ , pois $[;lim_{p\to\infty}ln(P+1)=\infty;]$ .

Existem outras formas de solucionar esse problema, quem quiser saber mais entre em contato com o Giga aqui, ou envie seu arquivo aqui .

Não perca a continuação desta postagem, abordaremos o porque o título e o que é a constante de euler-mascheroni.

Bibliografia: Logaritmos - LIMA, Elon Lages; SBM, 4ª Edição, Rio de Janeiro 2009

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