O Número de Euler
Matemática

O Número de Euler




Fonte: http://pt.wikipedia.org/  

      Na matemática , número de Euler, assim chamado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é a base dos logaritmos naturais. As variantes do nome do número incluem: número de Napier, constante de Néper, número neperiano, constante matemática e número exponencial, etc. 

       O número e é um número irracional e mesmo transcendente (como pi). A irracionalidade de e foi demonstrada por Lambert em 1761 e mais tarde por Euler. A prova da transcendência de e foi estabelecida por Hermite em 1873. Conjecturou-se que e é um número normal ou aleatório. Ele aparece (com outras constantes fundamentais) na identidade de Euler, considerada a expressão mais "bela" da matemática:
e^{i\pi}+1=0 \,
Obtém-se tal relação por meio da fórmula:
e^{ix} = \cos x + i\,\text{sen}\,x \,\!
que, por sua vez, advém da série de Taylor para f(ix) = eix.

       Leonhard Euler começou a usar a letra e para representar a constante em 1727, e o primeiro uso de e foi na publicação Euler?s Mechanica (1736). As verdadeiras razões para escolha da letra são desconhecidas, mas especula-se que seja porque e é a primeira letra da palavra exponencial.

       Outra aparição do número de Euler é na probabilidade: caso se escolham números entre zero e 1 até que o seu total ultrapasse 1, o número mais provável de seleções será igual a e.

       A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão (muito comum no cálculo de juros compostos):

k{e}^{r} = \lim_{n\to\infty} \left(k\left(1+\frac{r}{n}\right)^n\right)
para r = k = 1, ou seja:
e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
ou ainda, substituindo-se n por \frac{1}{h}

e = \lim_{h\to 0} \left(1+h\right)^\frac{1}{h}

cujo valor é aproximadamente 2,718 281 828 459 045 235 360 287.

Caracterizações Menos Triviais do Número de Euler

O número e pode ser representado e calculado por meio da utilização da série de Taylor para ex quando x=1, como a soma da seguinte série infinita:

e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots

Aqui n! representa o fatorial de n.

A função ex (função exponencial de base e) pode ser representada da seguinte forma:

(\forall x\in\mathbb{R}), exp(x) = ex
assim, por exemplo, tem-se :

\exp(3)=e\times e \times e=e^3 ou ainda
\exp(-4)=\frac{1}{e}\times \frac{1}{e}\times \frac{1}{e}\times \frac{1}{e}=\left(\frac{1}{e}\right)^4=e^{-4}
Outra maneira de se encontrar o valor de e é pelo desenvolvimento da fração contínua, escrito sob a forma interessante:

e=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{6+\ldots}}}}}}}}

Ou, de forma mais simplificada (sequência [[OEIS:{{{1}}}|{{{1}}}]] na OEIS):

e = [[2; 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1, 1, \textbf{6}, 1, 1, \textbf{8}, 1, 1, \ldots, \textbf{2n}, 1, 1, \ldots]], \,

que pode ser escrita mais harmoniozamente com a utilização do zero:

e = [[ 1 , \textbf{0} , 1 , 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1 , 1 , \textbf{6}, 1, 1, \textbf{8}, 1, 1, \ldots]], \,
Muitas outras séries, seqüências, frações contínuas e produtos infinitos que representam e já foram desenvolvidas.

O Número de Euler no Cálculo

A função exponencial y = ex tem a intrigante propriedade de ser sua própria derivada, i.e.:
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}
Isto significa que e tem a notável propriedade de que a taxa de variação de ex no ponto x = t vale et. Daí sua importância no cálculo diferencial e integral, e seu papel único como base do logaritmo natural. Além desta, pela regra da multiplicação por constante, as funções y = kex, (\forall k\in\mathbb{R}) também são suas próprias derivadas.
Trabalhando com integrais, pode-se ainda definir e como sendo o único número maior que zero tal que:

\ln{e} = \int_{1}^{e} \frac{dt}{t} = {1}

Número de Euler como Séries Infinitas

Dentre as várias séries infinitas que resultam em e, têm-se, além da trivial:
e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \right ]^{-1}
e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{1-2k}{(2k)!} \right ]^{-1}
e = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{k!}
e = 2 \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{(2k+1)!}
e = \sum_{k=0}^\infty \frac{3-4k^2}{(2k+1)!}
e = \sum_{k=0}^\infty \frac{(3k)^2+1}{(3k)!}
e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k}{2(k-1)!}
e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{2(k!)}
e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^3}{5(k!)}
e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^4}{15(k!)}

Número de Euler Como Limites e Produtos Infinitos

Os produtos infinitos:
e= 2 \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left ( \frac{2}{3}\; \frac{4}{3} \right )^{1/4} \left ( \frac{4}{5}\; \frac{6}{5}\; \frac{6}{7}\; \frac{8}{7} \right )^{1/8} \cdots
e
e = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/1} \left (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \right )^{1/2} \left (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \right )^{1/3} \left (\frac{2^4 \cdot 4^4}{1 \cdot 3^6 \cdot 5} \right )^{1/4} \cdots ,
em que o n-ésimo factor corresponde à raiz do produto
\prod_{k=0}^n (k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}},
resultam no número de Euler, assim como os seguintes limites:
e= \lim_{n \to \infty} n\cdot\left ( \frac{\sqrt{2 \pi n}}{n!} \right )^{1/n}
e=\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}
e=\lim_{n \to \infty} \left [ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}- \frac{n^n}{(n-1)^{n-1}} \right ]
O Número de Euler com os primeiros 510 dígitos decimais;
 
 
     




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