Matemática

Prova de Irracionalidade do Número de Euler

Na matemática, o número de Euler é uma das mais importantes constantes reais. A demonstração de que este número é irracional é considerada um dos mais elegantes teoremas de matemática. A demonstração baseia-se na representação do número de Euler pela série de Taylor da função exponencial em $x=0\,$ :

$e = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!}\quad (1)\!$

Demonstração

Esta é uma prova por contradição. Inicialmente, assume-se que e é um número racional, ou seja, que pode ser escrito na forma:

$e=\frac{a}{b}\,$

onde tanto a como b são números inteiros positivos. Então, define-se o número:

$x = b!\,\biggl(e - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\biggr)\!$

Aqui $x\,$ é obrigatoriamente um número inteiro pois pode ser escrito como:

$x = b!\,\biggl(\frac{a}{b} - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\biggr) = a(b - 1)! - \sum_{n = 0}^{b} \frac{b!}{n!}\,.$

Agora, usamos a representação em séries dada por (1):

$x = b!\,\biggl(\sum_{n=0}^{\infty} - \sum_{n = 0}^{b} \frac{1}{n!}\biggr)=b! \sum_{n = b+1}^{\infty} \frac{1}{n!}\,$

Desta forma fica claro que $x>0\,$ . Se pudermos provar que $x<1\,$ , o resultado está terminado, pois a contradição terá sido obtida, uma vez que não existe número inteiro maior que zero e menor que um.

Prova-se agora que $x<1\,$ , observando que para cada termo $n> b\,$ , vale a estimativa:

$\frac{b!}{n!} =\frac1{(b+1)(b+2)\cdots(b+(n-b))} \le\frac1{(b+1)^{n-b}}\,,\!$

Introduz-se a mudança de variável $k=n-b\,$ e usa-se soma dos termos de uma progressão geométrica:

$x =\sum_{n = b+1}^{\infty} \frac{b!}{n!} \leq \sum_{k=1}^\infty\frac1{(b+1)^k} =\frac{1}{b+1}\biggl(\frac1{1-\frac1{b+1}}\biggr) = \frac{1}{b} < 1.$

E o resultado segue, pois como é fácil ver $2<e<3\,$ , o que implica que $e\,$ não é um número inteiro e, portanto, $b>1\,$ .

Referências

Aigner, Martin; Ziegler, Günter. Proofs from THE BOOK. Berlin; New York: Springer, 2003. ISBN 3-540-40460-0

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