Matemática

Como provar que log de 2 é irracional?

Em postagens anteriores, tivemos ocasião de apresentar demonstrações para a irracionalidade de raiz de dois e para a irracionalidade de pi. Respondendo a pergunta de um leitor, demonstraremos, nesta postagem, a seguinte

Proposição: o número $$\log_{10}2$$ é irracional.

Para tanto, utilizaremos a técnica da "prova por contradição": assumiremos que aquilo o que queremos provar é falso e deduziremos, por meio de procedimentos matemáticos válidos, um absurdo. O absurdo será construído com base na lei da tricotomia.

Lei da tricotomia: se $$p$$ e $$q$$ são números inteiros, então uma, e somente uma, das seguintes possibilidades ocorre: $$q<p$$, $$q>p$$ ou $$q=p$$.

Vamos, então, para a prova da proposição:

Se $$\log_{10}2$$ é um número racional, então existem inteiros $$p>0$$ e $$q\neq 0$$ tais que

$$\frac{p}{q}=\log_{10}2$$

Segue da igualdade acima que

$$10^{\frac{p}{q}}=10^{\log_{10}2}$$

Pelas propriedades dos logaritmos, obtemos:

$$10^\frac{p}{q}=2$$

Elevando ambos os lados à q-ésima potência:

$$\left( 10^\frac{p}{q}\right)^q=2^q$$

Simplificando o lado esquerdo:

$$10^p=2^q$$

Como $$10=2\cdot 5$$, concluímos que:

$$(2\cdot 5)^p=2^q$$

Pelas propriedades das potências:

$$2^p\cdot 5^p=2^q$$

Fazendo permanecer apenas o número $$5^p$$ no primeiro membro:

$$5^p=\frac{2^q}{2^p}$$

Pelas propriedades das potências:

$$5^p=2^{q-p}$$

Conforme mencionamos no início, $$p$$ é um inteiro estritamente positivo. Portanto, o lado esquerdo da última igualdade é um número inteiro. Consequentemente, o lado direito também é um inteiro. Note que se tivéssemos $$q<p$$, então o expoente do $$2$$ seria negativo e, consequentemente, o lado direito da última igualdade não seria um inteiro (pois estaria entre zero e um). Logo $$q<p$$ não é possível;

Se, de outro modo, tivéssemos $$q>p$$, então o lado esquerdo da última igualdade seria um número inteiro múltiplo de dois e, consequentemente, o lado esquerdo também seria. Mas o lado esquerdo não é um múltiplo de dois, pois ele é da forma $$5\cdot 5\cdots 5$$ (com $$p$$ parcelas iguais a cinco e nenhuma igual a dois). Logo $$q>p$$ não é possível;

Por fim, se tivéssemos $$p=q$$, então teríamos $$5^p=2^{p-p}=2^0=1$$. Seguir-se-ia que $$5=\sqrt[p]{1}=1$$ - o que, como sabemos, não é verdade. Logo $$q=p$$ também não é possível.

Em resumo: não temos $$q<p$$, nem $$q=p$$ e nem $$q>p$$. Mas isso é um absurdo, pois viola a lei da tricotomia. Logo a nossa hipótese deve ser falsa e, portanto, sua negação é verdadeira, ou seja, $$\log_{10}2$$ é irracional.

Desafio para o leitor: prove que o número $$\log_{10}\sqrt{2}$$ é irracional. Dica: use propriedades dos logaritmos e a proposição que acabamos de provar.

Referências: adaptado de alguns sites.

Erros podem ser relatados aqui.

- Sobre A Irracionalidade Da Soma E Do Produto Dos Números "e" E "pi".
Existe, se eu não estou enganado, um mundo inteiro que é a totalidade das verdades matemáticas, ao qual temos acesso somente em nossas mentes, assim como existe um mundo da realidade física, tanto um...

- Uma Demonstração Da Desigualdade De Schwarz (em Espaços Reais)
Hermann Amandus Schwarz (1843-1921) O objetivo desta postagem é apresentar uma demonstração da desigualdade de Schwarz (não confundir com Schwartz), que enuncia o seguinte: Se $$u$$ e $$v$$ são elementos de um espaço vetorial real com produto...

- Dúvida Do Leitor [edo]
Recentemente recebi uma dúvida de um leitor sobre equações diferenciais. A pergunta era a seguinte: "tem algum jeito simples de aprender o passo a passo da resolução dos exercícios?". Creio que uma (se não for a única) maneira de construir este...

- Solucionando O Problema Do Gato E Rato (parte 3)
Na última postagem desta série paramos no ponto de resolver a seguinte equação diferencial:Resolvendo, obtemos o seguinte desenvolvimento:A partir daqui, temos dois casos a considerar: o caso em que c = 1 e o caso em que c ? 1. Observe que se c =...

- Um Pouco Sobre Logaritmos E Suas Propriedades Operatórias
Na antiguidade, os babilônios foram os que mais se interessaram pela Astronomia e durante séculos enfrentaram problemas com os cálculos que eram muito trabalhosos. Os logaritmos surgiram para simplificar cálculos, já que transformam multiplicação...

Matemática