Matemática

Solucionando o Problema do Gato e Rato (parte 3)

Na última postagem desta série paramos no ponto de resolver a seguinte equação diferencial:

$y'=\frac{z^{c}a^{-c}}{2}-\frac{z^{-c}a^{c}}{2}$

Resolvendo, obtemos o seguinte desenvolvimento:

$\frac{dy}{dz}=\frac{z^ca^{-c}}{2}-\frac{z^{-c}a^c}{2}$

$dy=\left (\frac{z^ca^{-c}}{2}-\frac{z^{-c}a^c}{2} \right )dz$

$\int dy=\int \left (\frac{z^ca^{-c}}{2}-\frac{z^{-c}a^c}{2} \right )dz$

$y(z)=\int\frac{z^ca^{-c}}{2}\; dz -\int \frac{z^{-c}a^c}{2}\;dz$

$y(z)=\frac{a^{-c}}{2}\int z^c\; dz -\frac{a^c}{2}\int z^{-c}\;dz$

A partir daqui, temos dois casos a considerar: o caso em que c = 1 e o caso em que c ? 1. Observe que se c = 1, então a função da segunda integral é 1/z e, portanto, a regra da potência não se aplica. Por outro lado, se c ? 1, então a regra da potência pode ser aplicada normalmente. Vamos considerar, inicialmente, o caso em que c ? 1 (aplicando a regra da potência):

$y(z)=\frac{a^{-c}}{2}\cdot \frac{z^{1+c}}{1+c}-\frac{a^c}{2}\cdot \frac{z^{1-c}}{1-c}+M$

Podemos obter o valor de M (constante de integração) calculando y(a):

$y(a)=\frac{a^{-c}}{2}\cdot \frac{a^{1+c}}{1+c}-\frac{a^{c}}{2}\cdot\frac{a^{1-c}}{1-c}+M=\frac{1}{2}\left (\frac{a}{1+c}-\frac{a}{1-c} \right )+M$

$y(a)=\frac{1}{2}\left (\frac{a(1-c)-a(1+c)}{(1+c)(1-c)} \right )+M=\frac{1}{2}\left (\frac{a-ac-a-ac)}{1-c^2} \right )+M$

$y(a)=\frac{1}{2}\cdot\left (\frac{-2ac}{1-c^2} \right )+M=\frac{-ac}{1-c^2}+M=\frac{ac}{c^2-1}+M$

Uma vez que y(a) = 0, obtemos:

$M=-\frac{ac}{c^2-1}$

E, portanto:

$y(z)=\frac{a^{-c}}{2}\cdot \frac{z^{1+c}}{1+c}-\frac{a^c}{2}\cdot \frac{z^{1-c}}{1-c}-\frac{ac}{c^2-1}$

Vamos, agora, considerar o caso em que c = 1. Nesta situação, obtemos:

$y(z)=\frac{a^{-1}}{2}\int z \; dz-\frac{a^}{2}\int \frac{1}{z} \; dz$

$y(z)=\frac{a^{-1}}{2}\cdot \frac{z^2}{2}-\frac{a}{2}\cdot \ln z +N$
Novamente, podemos obter o valor da constante de integração N calculando y(a):

$y(a)=\frac{a^{-1}}{2}\cdot \frac{a^2}{2}-\frac{a}{2}\cdot \ln a +N$

$y(a)=\frac{a}{4}-\frac{a}{2}\cdot \ln a +N$

Uma vez que y(a) = 0, obtemos:

$N=\frac{a}{2}\cdot\ln a-\frac{a}{4}$

Portanto:

$y(z)=\frac{a^{-1}}{2}\cdot \frac{z^2}{2}-\frac{a}{2}\cdot \ln z +\frac{a}{2}\cdot\ln a-\frac{a}{4}$

Agora, tudo o que nos resta é responder às questões propostas. Isto faremos na última postagem da série.

Referências: na última postagem da série.

Relate erros aqui.

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