Matemática

Solucionando o Problema do Gato e Rato (parte 2)

Em postagem anterior, analisamos o problema e concluímos que o próximo passo seria resolver a seguinte equação diferencial:

$zf''(z) =\frac{v}{u}\;\sqrt{1+[f'(z)]^2}$

Observemos, inicialmente, que o valor de f em a é 0, ou seja, f(a) = 0. Isto é fácil ver, basta olhar para a figura:

Além disso, quando o gato está em (a, 0) a direção de sua rota é vertical, ou seja, a inclinação da reta azul é zero. Isto significa que f '(a) = 0 (pois, conforme vimos em postagem anterior, a inclinação desta reta num dado ponto é, justamente, a tangente de f naquele ponto). Este fato também se percebe olhando para a figura:

Antes de prosseguir façamos uma mudança na notação para simplificar a escrita. Vamos colocar f '(z) = y'(z) = y', f ''(z) = y''(z) = y'' e v/u = c, obtendo:

$zy''=c\sqrt{1+[y']^2}$

Podemos reescrever a equação acima (que é de segunda ordem, pois o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece é 2) como uma equação de variáveis separáveis de primeira ordem. Para tanto, façamos a seguinte substituição:

y' = p
y'' = p'

Substituindo obtemos:

$zp'=c\sqrt{1+p^2}$

Utilizando a, assim chamada, "notação de Leibniz" para a derivada:

$z\frac{dp}{dz}=c\sqrt{1+p^2}$

Separando as variáveis:

$\frac{dp}{\sqrt{1+p^2}}=c\frac{dz}{z}$

Integrando ambos os lados:

$\int \frac{dp}{\sqrt{1+p^2}}=\int c\frac{dz}{z}$

Pelas regras de integração obtemos:

$\ln \left (p+\sqrt{1+p^2} \right )=c\ln z+K$
Pelas propriedades dos logaritmos:

$\ln \left (p+\sqrt{1+p^2} \right )=\ln z^c+K$

Tomando a exponencial de ambos os lados:

$e^{\ln \left (p+\sqrt{1+p^2} \right )}=e^{\ln z^c+K}$

Pelas propriedades básicas das funções exponencias e logarítmicas (e colocando e^K = K₂):

$p+\sqrt{1+p^2}=z^cK_2$

Desfazendo a última substituição (ou seja, colocando p = y' = y'(z)):

$y'(z)+\sqrt{1+[y'(z)]^2}=z^cK_2$

A fim de obter o valor de K₁ colocamos z = a nesta última igualdade:

$y'(a)+\sqrt{1+[y'(a)]^2}=a^cK_2$
Agora usamos o fato de que y'(a) = 0:
$0+\sqrt{1+0^2}=a^cK_2$

Segue-se da expressão acima que:

$K_2=\frac{1}{a^c}=a^{-c}$

Portanto:

$y'(z)+\sqrt{1+[y'(z)]^2}=z^ca^{-c}$

Com um pouco de manipulação algébrica podemos escrever y' explicitamente:
$y'+\sqrt{1+[y']^2}=z^ca^{-c}$
$\sqrt{1+[y']^2}=z^ca^{-c}-y'$
$1+[y']^2=\left (z^ca^{-c}-y' \right )^2$
$1+[y']^2=z^{2c}a^{-2c}-2z^{c}a^{-c}y'+[y']^2$
$1=z^{2c}a^{-2c}-2z^{c}a^{-c}y'$
$2z^{c}a^{-c}y'=z^{2c}a^{-2c}-1$
$y'=\frac{z^{2c}a^{-2c}-1}{2z^{c}a^{-c}}=\frac{z^{2c}a^{-2c}}{2z^{c}a^{-c}}-\frac{1}{2z^{c}a^{-c}}$
$y'=\frac{z^{c}a^{-c}}{2}-\frac{z^{-c}a^{c}}{2}$
O próximo passo é resolver a equação diferencial acima. Isto faremos na próxima postagem da série.

Referências: na última postagem da série.

Relate erros aqui.

- Edo Linear De Primeira Ordem: Exercícios Resolvidos (passo A Passo) / Parte 2
Atendendo ao pedido de um leitor, apresentarei solução para o seguinte Problema: resolva a seguinte EDO linear: $$x^2\frac{dy}{dx}+2xy=e^x$$ Solução: Usarei a terminologia e a notação empregadas nesta postagem. Portanto, para melhor...

- Edo Linear De Primeira Ordem: Exercícios Resolvidos (passo A Passo) / Parte 1
Uma EDO linear de primeira ordem tem o seguinte formato: $$y'+P(x)y=Q(x)$$ Chamaremos a forma acima de "forma padrão" da equação (o $$Q(x)$$ é uma expressão na qual o símbolo $$y$$ não aparece). Quando vamos resolver uma EDO desta natureza,...

- Exercício De Cálculo Resolvido Passo A Passo - Diferencial Total (dúvida Do Leitor)
Atendendo o pedido de um leitor, apresento nesta postagem solução para o seguinte Problema: utilize diferencial total para aproximar o valor deSolução: a expressão do diferencial total é dada porInspirados por (*), vamos considerar uma função...

- Solucionando O Problema Do Gato E Rato (parte 3)
Na última postagem desta série paramos no ponto de resolver a seguinte equação diferencial:Resolvendo, obtemos o seguinte desenvolvimento:A partir daqui, temos dois casos a considerar: o caso em que c = 1 e o caso em que c ? 1. Observe que se c =...

- O Algoritmo Da Divisão Parte Ii
Nesta série de postagens estamos nos dedicando a demonstrar o algoritmo da divisão: Se a é um número inteiro qualquer e b é um número inteiro maior do que zero, então existem dois números inteiros q e r tais...

Matemática