Matemática

EDO linear de primeira ordem: exercícios resolvidos (passo a passo) / Parte 1

Uma EDO linear de primeira ordem tem o seguinte formato:

$$y'+P(x)y=Q(x)$$

Chamaremos a forma acima de "forma padrão" da equação (o $$Q(x)$$ é uma expressão na qual o símbolo $$y$$ não aparece). Quando vamos resolver uma EDO desta natureza, devemos identificar quem é $$P(x)$$ (usando manipulações algébricas) em em seguida determinar o chamado "fator integrante" que indicaremos por $$I(x)$$ e é dado por

$$I(x)=e^{\int P(x)\;dx}$$

O resto do procedimento, fica ilustrado na solução abaixo.

Exercício: Resolva a seguinte equações linear de primeira ordem:

$$y'=x+5y$$

Solução: comece escrevendo a equação na forma padrão:

$$y'-5y=x$$

$$y'+(-5)y=x$$

Identifique a função $$P$$:

$$P(x)=-5$$

Calcule a integral de $$P(x)$$:

$$\int P(x)\; dx=\int -5 \; dx = -5x$$

Determine o fator integrante:

$$I(x)=e^{\int P(x)\;dx}=e^{-5x}$$

Multiplique ambos os lados da equação (na forma padrão) pelo fator integrante e reescreva a igualdade:

$$(y'+(-5)y)e^{-5x}=xe^{-5x}$$

$$(y'-5y)e^{-5x}=xe^{-5x}$$

$$y'e^{-5x}-5ye^{-5x}=xe^{-5x}$$

$$y'\cdot e^{-5x}+y\cdot (-5e^{-5x})=xe^{-5x}$$

Use a regra do produto "de trás para frente" no lado esquerdo para obter:

$$\frac{d}{dx}[ye^{-5x}]=xe^{-5x}\;\;\;\;\;(*)$$

Observação: a regra do produto diz que

$$\frac{d}{dx}[uv] = u'v + uv'$$

Quando estamos resolvendo EDO's lineares de primeira ordem, geralmente utilizamos esta igualdade lendo-a da direita para a esquerda, ou seja, usamos que

$$u'v + uv' = \frac{d}{dx}[uv]$$

No caso acima, $$u = y$$ e $$v = e^{-5x}$$.

Prosseguindo com a solução, integre ambos os lados da expressão $$(*)$$:

$$\int \frac{d}{dx}[ye^{-5x}]\;dx=\int xe^{-5x}$$

No primeiro membro sobrará apenas a função (isto é, o operador diferencial "desaparecerá") em virtude de que a integral e a derivada são operações inversas (no sentido do TFC). Logo, obtemos

$$ye^{-5x}=\int xe^{-5x}\;dx$$

Utilizando integração por partes no segundo membro obteremos

$$ye^{-5x}=-\frac{1}{5}xe^{-5x}-\frac{e^{-5x}}{25}+C$$

Simplifique o resultado (para tanto, "passe $$e^{-5x}$$ dividindo"):

$$y=-\frac{1}{5}x-\frac{1}{25}+Ce^{5x}$$

Referência: primeiro volume do livro de cálculo de James Stewart.
Erros podem ser relatados aqui.

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