Matemática
$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots a_2x^2+a_1x+a_0=0,$$
Pergunta para o leitor: porque dizer que "as raízes da equação $$(*)$$ são números algébricos" é um absurdo? O primeiro que responder não ganhará nada. Pelo contrário, ganhará alguma coisa: os parabéns!
Note que a proposição apresentada não exclui a possibilidade de $$\pi+e$$ e $$\pi e$$ serem ambos irracionais (e nem garante que um deles seja racional).
Observações:
- A primeira prova de que $$e$$ não é algébrico foi publicada em 1873 e é devida ao matemático francês Charles Hermite (direita acima);
- A primeira prova de que $$\pi$$ não é algébrico foi publicada em 1882 e é devida ao matemático alemão Carl Louis Ferdinand von Lindemann (esquerda abaixo);
- Uma prova da irracionalidade de ? pode ser vista aqui no BLOG MANTHANO;
- Uma prova da irracionalidade de e pode ser vista no blog FATOS MATEMÁTICOS;
- É possível que a soma de dois números irracionais seja racional, pois o números $$1+\sqrt{2}$$ e $$1-\sqrt{2}$$ são ambos irracionais, mas $$(1+\sqrt{2})+ (1-\sqrt{2})=2;$$
- É possível que o produto de dois números irracionais seja racional, pois $$(1+\sqrt{2})\times (1-\sqrt{2})=-1;$$
- Não é possível que a soma de dois números racionais seja irracional, pois
$$\frac{a}{b}+\frac{p}{q}=\frac{aq+bp}{bq};$$
- Não é possível que a soma de um racional com um irracional seja racional. Com efeito, se isso fosse verdade, então o item anterior seria falso;
- Não é possível que o produto de dois números racionais seja irracional, pois
$$\frac{a}{b}\times\frac{p}{q}=\frac{ap}{bq};$$
- Não é possível que o produto de um racional com um irracional seja racional. De fato, se isso fosse verdade, então o item anterior seria falso;
- Questão 70 ? Prova Do Estado ? (ofa) 2.014 ? Professor De Educação Básica Ii
A respeito do conjunto dos números reais, é verdade que (A) nem todo número racional pode ser expresso por meio de uma fração.(B) se um número tem representação decimal infinita, então esse número é racional.(C) o número 1/43 não é racional,...
- Questão 33 ? Prova Do Estado ? (ofa) 2.012 ? Professor De Educação Básica Ii
Analise as três afirmações. I. A razão entre as medidas da diagonal e do lado de um quadrado é sempre um número irracional. II. A razão entre as medidas das diagonais de dois quadrados quaisquer é sempre um número irracional. III. A razão entre...
- Questão 27 ? Prova Do Estado ? (ofa) 2.011
Sendo x um número real, a equação: (?2x + 3) ? (x2 ? 2) ? (125 + x3) = 0 possui apenas: (A) três soluções racionais e nenhuma irracional.(B) três soluções irracionais e nenhuma racional.(C) duas soluções racionais e duas irracionais.(D)...
- Introdução Aos Números Algébricos E Transcendentes
Mostramos em uma postagem anterior que o número é irracional, mas existe um fato interessante quanto a esse número: Dado temos que continua sendo irracional. Mas por que isso ocorre? Teremos de mostrar isso para cada ? O número , assim...
- Irracionalidade Do Número "e"
Na postagem anterior mostramos a existência do número de Euler, agora prosseguiremos avançando nosso estudo desse número tão fascinante, e iremos mostrar que o número é irracional, começaremos definindo irracionalidade. Definição: Um número...
Matemática
Sobre a irracionalidade da soma e do produto dos números "e" e "pi".
Existe, se eu não estou
enganado, um mundo inteiro que é
a totalidade das verdades matemáticas, ao
qual temos acesso somente em nossas mentes, assim
como existe um mundo da realidade física, tanto um como o
outro é independente de nós mesmos e são ambos de criação divina.
[Charles Hermite]
Um número $$x$$ é chamado de "algébrico" quando ele é solução de uma equação da forma
$$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots a_2x^2+a_1x+a_0=0,$$
onde os coeficientes $$a_n$$, $$a_{n-1}$$, ..., $$a_2$$, $$a_1$$ e $$a_0$$ são todos racionais. Por exemplo, o número $$7$$ é um número algébrico, pois ele é uma das soluções da equação $$x^2-9x+14=0$$. Embora as demonstrações não sejam tão elementares, é um fato conhecido que os números $$\pi$$ e $$e$$ não são algébricos.
Um outro fato também conhecido, é que os números $$\pi$$ e $$e$$ não são racionais. Mas, o que dizer dos números $$\pi+e$$ e $$\pi e$$? Será que algum deles é racional? Será que são ambos irracionais? Na verdade, até o presente momento este é um problema aberto da matemática. Isto significa que nenhum matemático, até hoje, foi capaz de responder a esta pergunta. Entretanto, é possível obter uma informação bem curiosa sobre este assunto, a qual apresento a seguir para comemorarmos o DIA DO PI.
Proposição: os números $$\pi+e$$ e $$\pi e$$ não são ambos racionais.
Prova: suponha que a proposição seja falsa. Então, a equação
$$x^2-(\pi+e)x+\pi e=0\;\;\;(*)$$
possui todos os coeficientes racionais. Seque-se que as suas soluções são números algébricos. ABSURDO! Logo a proposição é verdadeira e, portanto, no máximo um dos números $$\pi+e$$ e $$\pi e$$ é racional.
$$\square$$
Pergunta para o leitor: porque dizer que "as raízes da equação $$(*)$$ são números algébricos" é um absurdo? O primeiro que responder não ganhará nada. Pelo contrário, ganhará alguma coisa: os parabéns!
Note que a proposição apresentada não exclui a possibilidade de $$\pi+e$$ e $$\pi e$$ serem ambos irracionais (e nem garante que um deles seja racional).Observações:
- A primeira prova de que $$e$$ não é algébrico foi publicada em 1873 e é devida ao matemático francês Charles Hermite (direita acima);
- A primeira prova de que $$\pi$$ não é algébrico foi publicada em 1882 e é devida ao matemático alemão Carl Louis Ferdinand von Lindemann (esquerda abaixo);
- Uma prova da irracionalidade de ? pode ser vista aqui no BLOG MANTHANO;- Uma prova da irracionalidade de e pode ser vista no blog FATOS MATEMÁTICOS;
- É possível que a soma de dois números irracionais seja racional, pois o números $$1+\sqrt{2}$$ e $$1-\sqrt{2}$$ são ambos irracionais, mas $$(1+\sqrt{2})+ (1-\sqrt{2})=2;$$
- É possível que o produto de dois números irracionais seja racional, pois $$(1+\sqrt{2})\times (1-\sqrt{2})=-1;$$
- Não é possível que a soma de dois números racionais seja irracional, pois
$$\frac{a}{b}+\frac{p}{q}=\frac{aq+bp}{bq};$$
- Não é possível que a soma de um racional com um irracional seja racional. Com efeito, se isso fosse verdade, então o item anterior seria falso;
- Não é possível que o produto de dois números racionais seja irracional, pois
$$\frac{a}{b}\times\frac{p}{q}=\frac{ap}{bq};$$
- Não é possível que o produto de um racional com um irracional seja racional. De fato, se isso fosse verdade, então o item anterior seria falso;
Referências: Wikipedia, WolframAlpha, Ask Dr. Math, e MacTutor.
Erros podem ser relatados aqui.
- Questão 70 ? Prova Do Estado ? (ofa) 2.014 ? Professor De Educação Básica Ii
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Analise as três afirmações. I. A razão entre as medidas da diagonal e do lado de um quadrado é sempre um número irracional. II. A razão entre as medidas das diagonais de dois quadrados quaisquer é sempre um número irracional. III. A razão entre...
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Sendo x um número real, a equação: (?2x + 3) ? (x2 ? 2) ? (125 + x3) = 0 possui apenas: (A) três soluções racionais e nenhuma irracional.(B) três soluções irracionais e nenhuma racional.(C) duas soluções racionais e duas irracionais.(D)...
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Mostramos em uma postagem anterior que o número é irracional, mas existe um fato interessante quanto a esse número: Dado temos que continua sendo irracional. Mas por que isso ocorre? Teremos de mostrar isso para cada ? O número , assim...
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Na postagem anterior mostramos a existência do número de Euler, agora prosseguiremos avançando nosso estudo desse número tão fascinante, e iremos mostrar que o número é irracional, começaremos definindo irracionalidade. Definição: Um número...