Matemática

Uma demonstração da desigualdade de Schwarz (em espaços reais)

Hermann Amandus Schwarz (1843-1921)

O objetivo desta postagem é apresentar uma demonstração da desigualdade de Schwarz (não confundir com Schwartz), que enuncia o seguinte:

Se $$u$$ e $$v$$ são elementos de um espaço vetorial real com produto interno, então

$$ | \langle u,v \rangle | \leq \parallel u\parallel \parallel v \parallel $$.

Prova:

Se um dos vetores é nulo, digamos $$u=0$$, então a afirmação é verdadeira, pois neste caso temos

$$| \langle u,v \rangle |=| \langle 0,v \rangle | =0=\parallel 0\parallel \parallel v \parallel=\parallel u\parallel \parallel v \parallel $$

Se nenhum dos vetores é nulo, seja $$u'=u/ \parallel u \parallel $$. Afirmamos que $$\parallel u' \parallel =1$$. De fato, pela definição de norma e pelas propriedades do produto interno:

$$ \parallel u' \parallel = \sqrt{ \left \langle \frac{u}{\parallel u \parallel}, \frac{u}{\parallel u \parallel} \right \rangle} $$

$$ = \sqrt{ \left \langle \frac{u}{\sqrt{\langle u,u \rangle}}, \frac{u}{\sqrt{\langle u,u \rangle }} \right \rangle} $$

$$ = \sqrt{ \frac{1}{\sqrt{\langle u,u \rangle^2}} \langle u,u \rangle } $$

$$ = \sqrt{\frac{\langle u,u \rangle}{\langle u,u \rangle}}=1$$

Defina o vetor $$z=\langle u',v \rangle u' $$. Afirmamos que $$ \parallel z \parallel = | \langle u,v \rangle | / \parallel u \parallel .$$ De fato, usando este último resultado (em conjunto com a definição e as propriedades já utilizadas acima) obtemos:

$$\parallel z \parallel = \parallel \langle u',v \rangle u' \parallel $$

$$=\sqrt{\langle \langle u',v \rangle u' , \langle u',v \rangle u' \rangle}$$

$$=\sqrt{\langle u',v \rangle\langle u',v \rangle\langle u' , u' \rangle}$$

$$=\sqrt{\langle u',v \rangle^2\parallel u'\parallel}$$

$$=|\langle u',v \rangle|$$

$$=\left |\left \langle \frac{u}{\parallel u \parallel},v \right \rangle\right |$$

$$=\left |\frac{1}{\parallel u \parallel}\langle u,v \rangle\right |$$

$$=\frac{|\langle u,v \rangle|}{\parallel u \parallel}$$

Agora, defina o vetor $$w=v-z$$. Afirmamos que $$z$$ e $$w$$ são ortogonais. De fato:

$$\langle w,z \rangle = \langle v-z,z \rangle $$

$$= \langle v,z\rangle-\langle z,z\rangle$$

$$=\langle v, \langle u',v \rangle u' \rangle - \langle \langle u',v \rangle u', \langle u',v \rangle u'\rangle$$

$$=\langle u',v \rangle \langle v, u' \rangle - \langle u',v \rangle\langle u',v \rangle\langle u', u'\rangle$$

$$=\langle u',v \rangle \langle u', v \rangle - \langle u',v \rangle\langle u',v \rangle=0$$

Segue-se que o Teorema de Pitágoras se aplica, ou seja:

$$\parallel z+w\parallel ^2= \parallel z\parallel ^2 +\parallel w\parallel ^2$$

Por conseguinte, se $$w\neq 0$$ então:

$$ \parallel z \parallel ^2 < \parallel z+w \parallel ^2 = \parallel v \parallel ^2$$

$$\Rightarrow \parallel z \parallel < \parallel v \parallel$$

$$\Rightarrow \frac{|\langle u,v \rangle |}{\parallel u \parallel} < \parallel v \parallel$$

$$ \Rightarrow |\langle u,v \rangle < \parallel u \parallel \parallel v \parallel$$

Se, por outro lado, $$w=0$$, então

$$ \parallel z \parallel ^2 = \parallel z+w \parallel ^2 = \parallel v \parallel ^2$$

$$\Rightarrow \parallel z \parallel = \parallel v \parallel$$

$$\Rightarrow \frac{|\langle u,v \rangle |}{\parallel u \parallel} = \parallel v \parallel$$

$$ \Rightarrow |\langle u,v \rangle = \parallel u \parallel \parallel v \parallel$$

Assim, temos $$|\langle u,v \rangle |< \parallel u\parallel \parallel v \parallel $$ ou $$|\langle u,v \rangle |= \parallel u\parallel \parallel v \parallel $$. Ou seja,

$$ | \langle u,v \rangle | \leq \parallel u\parallel \parallel v \parallel $$

OBSERVAÇÃO:

Note que para a igualdade valer, é necessário que $$u$$ seja múltiplo de $$v$$ (e, portanto, $$v$$ múltiplo de $$u$$). De fato, ela vale quando $$w=0$$ e

$$w=0\Rightarrow v-z=0$$

$$\Rightarrow v=z=\langle u',v \rangle u' = \langle u',v\rangle\frac{u}{\parallel u\parallel}=\frac{\langle u,v \rangle }{\parallel u \parallel}u$$

(há uma constante multiplicando $u$, logo $v$ é um múltiplo seu)

Note também que é suficiente que $$u$$ e $$v$$ sejam múltiplos um do outro (isto é, que $$u$$ seja o resultado da multiplicação de $$v$$ por uma constante) para que a igualdade seja válida. Apesar de omitirmos os detalhes algébricos (meras aplicações das propriedades e definições já mencionadas/usadas), o leitor interessado poderá verificar que

$$u=kv \Rightarrow \parallel u \parallel \parallel v \parallel = \parallel kv \parallel \parallel v \parallel =|\langle kv,v \rangle|=|\langle u,v \rangle |. $$

Assim, para se obter a igualdade é necessário e suficiente que $$u$$ e $$v$$ sejam múltiplos um do outro. Em outros termos: a igualdade vale se, e somente se, $$u$$ e $$v$$ são linearmente dependentes.

Referências: livro Álgebra Linear de Elon Lages Lima e wolframalpha.
Erros podem ser relatados aqui.

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