Matemática

Teorema do Valor Médio

Em matemática, o teorema do valor médio (também conhecido como Teorema de Lagrange) afirma que dada uma função contínua f definida num intervalo fechado [a,b] e diferenciável em (a,b), existe algum ponto c em (a,b) tal que :

$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot$

Geometricamente, isto significa que a tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa c é paralela à secante que passa pelos pontos de abcissas a e b.

O teorema do valor médio também tem uma interpretação em termos físicos: se um objeto está em movimento e se a sua velocidade média é

v

, então, durante esse percurso (intervalo [a,b]), há um instante (ponto c) em que a velocidade instantânea também é

v

Demonstração

Seja

$\begin{array}{rccc}g\colon&[a,b]&\longrightarrow&\mathbb{R}\\&x&\mapsto&f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a).\end{array}$

Então

g

também é contínua em

[a, b]

e derivável em

(a, b)

. Além disso,

g (a) = g (b) = 0

. Logo, pelo teorema de Rolle, existe algum

c

(a, b)

tal que

g'(c) = 0

. Mas

$\begin{align}g'(c)=0&\Longleftrightarrow f'(c)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\\&\Longleftrightarrow f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot\end{align}$

Funções com Valores Vetoriais

f

for uma função contínua de

[a, b]

em R

n

que seja derivável em

(a, b)

, então já não é verdade que existe necessariamente algum

c

(a, b)

tal que

$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\cdot$

Considere-se, por exemplo, a função

f

[0,2?]

em R

2

definida por

$f(x)=(\cos(x),\operatorname{sen}(x))$ .

Então:

$\frac{f(2\pi)-f(0)}{2\pi-0}=(0,0),$

mas

$(\forall x\in(0,2\pi)):f'(x)=(-\operatorname{sen}(x),\cos(x))\neq(0,0).$

No entanto, é verdade que existe sempre algum

c

(a, b)

tal que

$\frac{\|f(b)-f(a)\|}{b-a}\leqslant\|f'(c)\|.$

Isto pode ser demonstrado do seguinte modo. Seja

v

? R

n

um vector de norma 1 tal que

$\langle v,f(b)-f(a)\rangle=\|f(b)-f(a)\|$

e seja

$\begin{array}{rccc}g\colon&[a,b]&\longrightarrow&\mathbb{R}\\&x&\mapsto&\langle v,f(x)-f(a)\rangle.\end{array}$

Então

g

é contínua em

[a, b]

e derivável em

(a, b)

, pelo que existe algum

c

(a, b)

tal que

$g'(c)=\frac{g(b)-g(a)}{b-a}\Longleftrightarrow\langle v,f'(c)\rangle=\left\langle v,\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right\rangle=\frac{\|f(b)-f(a)\|}{b-a},$

pelo que, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz,

$\frac{\|f(b)-f(a)\|}{b-a}=\bigl|\langle v,f'(c)\rangle\bigr|\leqslant \|v\|.\|f'(c)\|=\|f'(c)\|.$

Generalização: Teorema de Cauchy

Um resultado mais geral é o Teorema de Cauchy, que afirma que se f e g são funções contínuas de [a,b] em R que são deriváveis em (a,b), então existe algum c ? (a,b) tal que

$(f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c).\,$

É uma generalização do teorema de Lagrange pois, se se tomar g(x) = x, isto significa

$f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)\Leftrightarrow\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(c).\,$

O Teorema de Cauchy pode ser demonstrado considerando a função h de [a,b] em R definida por

$h(x)=(f(b)-f(a))(g(x))-(g(b)-g(a))(f(x)).\,$

Então h é contínua, é derivável em (a,b) e h(a) = h(b), pelo que existe algum c ? (a,b) tal que

$\begin{align}h'(c)=0&\Leftrightarrow (f(b)-f(a))g'(c)-(g(b)-g(a))f'(c)=0\\&\Leftrightarrow (f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c).\end{align}$

Naturalmente, o Teorema de Cauchy não tem interesse caso f(a) = f(b) e g(a) = g(b). Caso contrário, o significado do teorema de Cauchy é: se se considerar a curva

$\begin{array}{ccc}[a,b]&\longrightarrow&\mathbb{R}^2\\x&\mapsto&\bigl(f(x),g(x)\bigr),\end{array}$

então o declive de recta definida por (f(a),g(a)) e por (f(b),g(b)) é igual ao declive da tangente à curva em algum ponto.

Referências
http://pt.wikipedia.org - Teorema do Valor Médio

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