Matemática
As Equações de Cauchy-Riemann
Seja f = u + iv uma função derivável num ponto z = x + iy. Então o quociente:

Tem limite f ‘(z) com Δz –> à 0.
Podemos fazer Δz tender a zero por valores reais Δz = k e, separadamente, por valores imaginários Δz = it.
Obtemos, então:
![clip_image002[4] clip_image002[4]](matematica/matematica-57ac273f4fcf9.gif?imgmax=800)
e
![clip_image002[6] clip_image002[6]](matematica/matematica-57ac273f5139e.gif?imgmax=800)
De acordo com o Teorema:
Se
então existe uma vizinhança V ‘δ (z0) na qual f (z) é limitada.
A existência desses limites implica a existência, separadamente, dos limites das partes reais das imaginárias das expressões sob limites:
![clip_image002[10] clip_image002[10]](matematica/matematica-57ac273f53ef1.gif?imgmax=800)
e
![clip_image002[12] clip_image002[12]](matematica/matematica-57ac273f551ec.gif?imgmax=800)
Em conseqüência, as funções u e v possuem derivadas parciais no ponto (x,y), e valem nesse ponto as relações:
![clip_image002[14] clip_image002[14]](matematica/matematica-57ac273f565eb.gif?imgmax=800)
e
![clip_image002[16] clip_image002[16]](matematica/matematica-57ac273f578ee.gif?imgmax=800)
Se igualarmos as partes reais e as imaginárias, obteremos as chamadas Equações de Cauchy-Riemann:
![clip_image002[18] clip_image002[18]](matematica/matematica-57ac273f58ba5.gif?imgmax=800)
Uma aplicação seria em coordenadas polares assumindo a seguinte forma:
![clip_image002[20] clip_image002[20]](matematica/matematica-57ac273f59e04.gif?imgmax=800)
Justificando o formato acima, baseamos no seguinte fato:
Em cada ponto P = (x,y) de coordenadas polares (r,θ), introduzimos um sistema cartesiano Pxy, de eixos Px e Py:
Para a demonstração analítica das equações de Cauchy em coordenadas polares, utilizamos as fórmulas de transformação:
![clip_image002[22] clip_image002[22]](matematica/matematica-57ac273f5c13d.gif?imgmax=800)
que definem implicitamente r e θ como funções de x e y. Se derivarmos em relação a x, obteremos:
![clip_image002[24] clip_image002[24]](matematica/matematica-57ac273f5d2b4.gif?imgmax=800)
![clip_image002[26] clip_image002[26]](matematica/matematica-57ac273f5e3ec.gif?imgmax=800)
Segue que:
![clip_image002[28] clip_image002[28]](matematica/matematica-57ac273f5f546.gif?imgmax=800)
Referências:
[1] Notas de aula .
Veja mais:
Demonstração da 1ª Fórmula de De moivre
Demonstração da 2ª Fórmula de De Moivre
Equação de Clapeyron
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