Matemática
A questão que será apresentada aqui aborda mais uma das aplicações do Teorema do Valor Intermediário (para saber mais clique nessa postagem:As Consequências do Teorema do Valor Intermediário ), a questão foi enviada pelo leitor Arlyson A. Nascimento, ele é professor do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Alagoas. Obrigado pela confiança no blog!
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Nosso objetivo de hoje será calcular a soma dos inversos dos quadrados dos naturais de algumas maneiras distintas, obtendo assim uma pequena coleção de belas provas de tal fato. Teorema: $$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}...
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Na matemática, o número de Euler é uma das mais importantes constantes reais. A demonstração de que este número é irracional é considerada um dos mais elegantes teoremas de matemática. A demonstração baseia-se...
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Este problema foi enviado pelo leitor e colaborador Prof. Aldenor Lemos, a motivação desta postagem veio do livro Logaritmos do Elon. o problema é o seguinte: Mostre que a soma é maior do que e conclua que . Isto se escreve também assim: Solução:...
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Matemática
Questão: Aplicação do Valor Intermediário
A questão que será apresentada aqui aborda mais uma das aplicações do Teorema do Valor Intermediário (para saber mais clique nessa postagem:As Consequências do Teorema do Valor Intermediário ), a questão foi enviada pelo leitor Arlyson A. Nascimento, ele é professor do Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Alagoas. Obrigado pela confiança no blog!
A questão pertence ao exame de admissão no programa de pós-graduação em matemática aplicada (2011). Vamos ao enunciado:
Sejam $f:[a,b]\to\mathbb{R}$ uma função contínua, $x_1,\ldots,x_n$ pontos distintos de $[a,b]$, e números reais de mesmo sinal $w_1,\ldots,w_n$. Mostre que existe pelo menos um ponto $c\in[a,b]$ tal que
$$\sum_{i=1}^nf(x_i)w_i=f(c)\sum_{i=1}^nw_i$$
Solução: Suponha sem perda de generalidade que $w_i>0$ para todo $1\leq i\leq n$, (a demonstração é análoga para o outro caso). Note inicialmente que $[a,b]$ é compacto, assim, visto que $f$ é contínua, $f$ atinge seu valor de máximo e mínimo no domínio, logo, exitem $c_1,c_2$ tais que $f(c_1)=m,f(c_2)=M$ e
$$m\leq f(x)\leq M,\quad\forall x\in [a,b]\qquad (1)$$
Defina $F:[a,b]\to\mathbb{R}$ por
$$F(x)=\sum_{i=1}^n[f(x)-f(x_i)]w_i$$
$F$ é claramente contínua, pois $f$ é contínua. Observe que
$$F(c_1)=\sum_{i=1}^n[m-f(x_i)]w_i\leq0,$$
pois de $(1)$ temos $m\leq f(x)\Rightarrow m-f(x)\leq0,\forall x \in[a,b]$ e por hipótese $w_i>0$.
Analogamente,
$$F(c_2)=\sum_{i=1}^n[M-f(x_i)]w_i\geq0,$$
pois de $(1)$ temos $M\geq f(x)\Rightarrow M-f(x)\geq0,\forall x \in[a,b]$ e por hipótese $w_i>0$.
Temos agora três casos a considerar:
Caso 1: $F(c_1)=0$, se ocorrer esse caso, então acabamos a questão, pois
$$F(c_1)=0$$
$$\sum_{i=1}^n[f(c_1)-f(x_i)]w_i=0$$
$$\sum_{i=1}^nf(c_1)w_i=\sum_{i=1}^nf(x_i)w_i$$
$$f(c_1)\sum_{i=1}^nw_i=\sum_{i=1}^nf(x_i)w_i$$
Caso 2: $F(c_2)=0$, concluímos como no caso anterior que $c_2$ satisfaz a igualdade desejada.
Caso 3: $F(c_1),F(c_2)\neq0$, assim só podemos ter $F(c_1)<0$ e $F(c_2)>0$. Como $F$ é contínua, pelo Teorema do Valor Intermediário, existe $c\in[a,b]$ tal que $F(c)=0$, nesse caso:
$$F(c)=0$$
$$\sum_{i=1}^n[f(c)-f(x_i)]w_i=0$$
$$\sum_{i=1}^nf(c)w_i=\sum_{i=1}^nf(x_i)w_i$$
$$f(c)\sum_{i=1}^nw_i=\sum_{i=1}^nf(x_i)w_i$$
Portanto, existe pelo menos um ponto $c\in[a,b]$ tal que
$$\sum_{i=1}^nf(x_i)w_i=f(c)\sum_{i=1}^nw_i$$
É isso, dúvidas em relação à solução poderão ser postadas nos comentários.
Até mais !
- Algumas Provas De Que $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6} $
Nosso objetivo de hoje será calcular a soma dos inversos dos quadrados dos naturais de algumas maneiras distintas, obtendo assim uma pequena coleção de belas provas de tal fato. Teorema: $$ \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}...
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