Seção de Problemas
Aproveitando o retorno do blog, aqui irei propor alguns problemas. Essa seção de problemas interessantes vai ser semanal, toda quarta ou quinta a partir de semana que vem, e a cada semana postaremos os gabaritos comentados da semana anterior. Caso alguém queira mandar sua resolução, comente nesta postagem ou envie para [email protected] sua resolução. Ao todo, teremos entre cinco e dez problemas nas seções.
Enunciados:
Teoria dos Números:
1 - Prove que 
é um primo somente se 
é potência de 2 (quando isso acontece, temos um primo de Fermat)
2 - Prove que 
é um primo somente se 
é primo (quando isso acontece, temos um primo de Mersenne)
Álgebra:
3 - Sejam 
tais que 
. Prove que:
a) 
b) 
4 - Se 
e ![clip_image012[1]](matematica/matematica-5631ca270554d.gif?imgmax=800 "clip_image012[1]")
Ache os possíveis valores de
5 - Prove que 
é irracional.
Geometria:
6 - Prove que uma estrela como na figura não pode ser desenhada atendendo simultaneamente a
7 - Seja um quadrilátero inscritível 
em uma circunferência de centro 
tal que suas diagonais são perpendiculares. Mostre que a linha poligonal 
divide o quadrilátero em duas partes de mesma área.
8 - Seja ![clip_image028[1]](matematica/matematica-5631ca2a1e2e4.gif?imgmax=800 "clip_image028[1]")
um quadrilátero inscritível. Suponha que tracemos uma semicircunferência com centro em 
tal que os outros três lados sejam tangentes a esta.
a) Prove que 
b) Determine, em função de 
e 
, a área máxima de um quadrilátero desse tipo.
Combinatória:
9 - Quantos quadrados podemos formar com pontos numa malha 
?
Fontes:
Questões 1 e 2: Livro Intro Abstract Algebra.
Questões 3,4 e 5: Revista Eureka!, número 33
Questão 6: Livro Círculos Matemáticos.
Questões 7, 8 e 9: Apostilas do Polo Olímpico de Treinamento para a OBM, 2012.
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