Matemática
Observe o seguinte problema:
Uma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 192 m2. Determine as medidas x e y indicadas na figura.
2x . ( 2x + 2y) = 192
4x2 + 4xy = 192
Simplificando, obtemos:
2x + y = 16 1
x2 +xy = 48 2
Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 2º grau.
Podemos resolvê-lo pelo método a substituição:
Assim: 2x + y = 16 1
y = 16 - 2x
Substituindo y em 2 , temos:
x2 + x ( 16 - 2x) = 48
x 2 + 16x - 2x2 = 48
- x2 + 16x - 48 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1.
x2 - 16x + 48 = 0
x'=4 e x''=12
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:
y'=16 - 2 . 4 = 8
y''=16 - 2 . 12 = - 8
As soluções do sistema são os pares ordenados (4,8) e ( 12, -8).
desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões da quadra:
Comprimento =2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m
Largura =2x = 2. 4 = 8m
Verifique agora a solução deste outro sistema:
Isolando y em 1
y - 3x = -1 y = 3x - 1
Substituindo em 2
x2 - 2x(3x - 1) = -3
x2 - 6x2 + 2x = -3
-5x2 + 2x + 3 = 0 Multiplicando ambos os membros por -1.
5x2 - 2x - 3 = 0
x'=1 e x''=-
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:
As soluções do sistema são os pares ordenados ( 1, 2) e
.
Logo, temos para conjunto verdade:
Sequência prática
Representamos um número por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os seus inversos serão representados por
.
Temos estão a equação:
.
Resolvendo-a:
Observe que a raiz
não é utilizada, pois não se trata de número inteiro.
Resposta: Os números pedidos são, portanto, 6 e o seu consecutivo 7.
Representamos um número por 10x + y, e o número com a ordem dos algarismos trocada por 10y + x.
Observe:
Número:
10x + y
Número com a ordem dos algarismos trocada:
10y + x.
Temos, então, o sistema de equações:
Resolvendo o sistema, temos:
Isolando y em 1 :
-x + y = 3 y= x + 3
Substituindo y em 2:
xy = 18
x ( x + 3) = 18
x2 + 3x = 18
x2 + 3x - 18 = 0
x'= 3 e x''= -6
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:
y'= 3 + 3 = 6
y''= -6 + 3 = -3
Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por: V= { (3,6), ( -6, -3)}.
Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, temos para solução do problema o número
36 ( x=3 e y=6).
Resposta: O número procurado é 36.
Consideremos x o tempo gasto para a 1ª torneira encher o tanque e x+5 o tempo gasto para a 2ª torneira encher o tanque.
Em uma hora, cada torneira enche a seguinte fração do tanque:
Em uma hora, as duas torneiras juntas encherão
do tanque; observe a equação correspondente:
Resolvendo-a, temos:
6( x + 5 ) + 6x = x ( x + 5 )
6x + 30 + 6x = x2 + 5x
x2 - 7x - 30 = 0
x'= - 3 e x''=10
Como a raiz negativa não é utilizada, teremos como solução x= 10.
Resposta: A 1ª torneira enche o tanque em 10 horas e a 2ª torneira, em 15 horas.
Podemos representar por:
Resolvendo-a:
Resposta: Nesse jantar deveriam estar presentes 20 pessoas. Como faltaram 5, então 15 pessoas estavam presentes no jantar.
www.somatematica.com.br
- Solução Do Enigma O Problema Das Torneiras
Olááá, Primeiramente, gostaria de agradecer a participação do Ziulab pela resposta enviada. Muito obrigada! Vejamos a minha solução: Se a segunda torneira gasta sozinha x horas, a primeira gasta x+5 horas para encher o tanque, portanto,...
- Sistema De Equação
Equações do 1º grau com uma variável Equação é toda sentença matemática aberta representada por uma igualdade, em que exista uma ou mais letras que representam números desconhecidos. Exemplo:X + 3 = 12 – 4 Forma geral: ax = b, em que...
- Sistema De Equação
Gráfico de uma equação de 1º grau com duas variáveis Sabemos que uma equação do 1º grau com duas variáveis possui infinitas soluções. Cada uma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado (x, y). Dispondo de dois pares ordenados...
- Sistema De Equação
Equações do 1º grau com uma variável Equação é toda sentença matemática aberta representada por uma igualdade, em que exista uma ou mais letras que representam números desconhecidos. Exemplo:X + 3 = 12 – 4 Forma geral: ax = b, em que...
- Sistema De Equações Do 2º Grau
Colégio Estadual Dinah gonçalves professor antonio carlos C barroso apostila sobre sistema de 2º grau para 8ª série ou 9º ano Os sistemas a seguir envolverão equações do 1º e do 2º grau, lembrando de que suas representações gráficas constituem...
Matemática
Sistemas de equações de 2º grau
Professor de Matemática Antonio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email [email protected]
Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com
http://accbarrosogestar.blogspot.com.br
www.accbarrosogestar.wordpress.com SISTEMAS DE EQUAÇÕES DO 2º GRAUUma quadra de tênis tem a forma da figura, com perímetro de 64 m e área de 192 m2. Determine as medidas x e y indicadas na figura.
De acordo com os dados, podemos escrever:
8x + 4y = 642x . ( 2x + 2y) = 192
4x2 + 4xy = 192Simplificando, obtemos:
2x + y = 16 1
x2 +xy = 48 2
Temos aí um sistema de equações do 2º grau, pois uma das equações é do 2º grau.
Podemos resolvê-lo pelo método a substituição:
Assim: 2x + y = 16 1
y = 16 - 2x
Substituindo y em 2 , temos:
x2 + x ( 16 - 2x) = 48
x 2 + 16x - 2x2 = 48
- x2 + 16x - 48 = 0
Multiplicando ambos os membros por -1.x2 - 16x + 48 = 0
x'=4 e x''=12
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:
y'=16 - 2 . 4 = 8
y''=16 - 2 . 12 = - 8
As soluções do sistema são os pares ordenados (4,8) e ( 12, -8).
desprezando o par ordenado que possui ordenada negativa, teremos para dimensões da quadra:
Comprimento =2x + 2y = 2.4 + 2.8 = 24m
Largura =2x = 2. 4 = 8m
Verifique agora a solução deste outro sistema:
Isolando y em 1
y - 3x = -1
y = 3x - 1Substituindo em 2
x2 - 2x(3x - 1) = -3
x2 - 6x2 + 2x = -3
-5x2 + 2x + 3 = 0
Multiplicando ambos os membros por -1.5x2 - 2x - 3 = 0
x'=1 e x''=-
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:
As soluções do sistema são os pares ordenados ( 1, 2) e
.Logo, temos para conjunto verdade:
PROBLEMAS DO 2º GRAU
Para resolução de problemas do 2º grau, devemos seguir etapas:Sequência prática
- Estabeleça a equação ou sistema de equações que traduzem o problema para a linguagem matemática.
- Resolva a equação ou o sistema de equações.
- Interprete as raízes encontradas, verificando se são compatíveis com os dados do problema.
- Determine dois números inteiros consecutivos tais que a soma de seus inversos seja
.
Representamos um número por x, e por x + 1 o seu consecutivo. Os seus inversos serão representados por
.Temos estão a equação:
.Resolvendo-a:
Observe que a raiz
não é utilizada, pois não se trata de número inteiro.Resposta: Os números pedidos são, portanto, 6 e o seu consecutivo 7.
- Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos, obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse número, sabendo-se que o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18.
Representamos um número por 10x + y, e o número com a ordem dos algarismos trocada por 10y + x.
Observe:
Número:
10x + yNúmero com a ordem dos algarismos trocada:
10y + x.Temos, então, o sistema de equações:
Resolvendo o sistema, temos:
Isolando y em 1 :
-x + y = 3
y= x + 3Substituindo y em 2:
xy = 18
x ( x + 3) = 18
x2 + 3x = 18
x2 + 3x - 18 = 0
x'= 3 e x''= -6
Determinando y para cada um dos valores de x, obtemos:
y'= 3 + 3 = 6
y''= -6 + 3 = -3
Logo, o conjunto verdade do sistema é dado por: V= { (3,6), ( -6, -3)}.
Desprezando o par ordenado de coordenadas negativas, temos para solução do problema o número
36 ( x=3 e y=6).
Resposta: O número procurado é 36.
- Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas mais que a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse tanque isoladamente.
Consideremos x o tempo gasto para a 1ª torneira encher o tanque e x+5 o tempo gasto para a 2ª torneira encher o tanque.
Em uma hora, cada torneira enche a seguinte fração do tanque:
Em uma hora, as duas torneiras juntas encherão
do tanque; observe a equação correspondente:Resolvendo-a, temos:
6( x + 5 ) + 6x = x ( x + 5 )
6x + 30 + 6x = x2 + 5x
x2 - 7x - 30 = 0
x'= - 3 e x''=10
Como a raiz negativa não é utilizada, teremos como solução x= 10.
Resposta: A 1ª torneira enche o tanque em 10 horas e a 2ª torneira, em 15 horas.
- Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantos pessoas estavam presentes nesse jantar?
Podemos representar por:
Resolvendo-a:
Resposta: Nesse jantar deveriam estar presentes 20 pessoas. Como faltaram 5, então 15 pessoas estavam presentes no jantar.
www.somatematica.com.br
- Solução Do Enigma O Problema Das Torneiras
Olááá, Primeiramente, gostaria de agradecer a participação do Ziulab pela resposta enviada. Muito obrigada! Vejamos a minha solução: Se a segunda torneira gasta sozinha x horas, a primeira gasta x+5 horas para encher o tanque, portanto,...
- Sistema De Equação
Equações do 1º grau com uma variável Equação é toda sentença matemática aberta representada por uma igualdade, em que exista uma ou mais letras que representam números desconhecidos. Exemplo:X + 3 = 12 – 4 Forma geral: ax = b, em que...
- Sistema De Equação
Gráfico de uma equação de 1º grau com duas variáveis Sabemos que uma equação do 1º grau com duas variáveis possui infinitas soluções. Cada uma dessas soluções pode ser representada por um par ordenado (x, y). Dispondo de dois pares ordenados...
- Sistema De Equação
Equações do 1º grau com uma variável Equação é toda sentença matemática aberta representada por uma igualdade, em que exista uma ou mais letras que representam números desconhecidos. Exemplo:X + 3 = 12 – 4 Forma geral: ax = b, em que...
- Sistema De Equações Do 2º Grau
Colégio Estadual Dinah gonçalves professor antonio carlos C barroso apostila sobre sistema de 2º grau para 8ª série ou 9º ano Os sistemas a seguir envolverão equações do 1º e do 2º grau, lembrando de que suas representações gráficas constituem...