Supremo Quadrado Mágico Pitagórico
Matemática

Supremo Quadrado Mágico Pitagórico


O triângulo da Figura 1 é um triângulo retângulo, desta forma podemos aplicar o Teorema de Pitágoras.
 
Figura 1: Quadrado Mágico Pitagórico

Se você examinar a Figura 1 com o devido cuidado verá que temos três quadrados mágicos, onde as somas das linhas, colunas e diagonais são 45 para o cateto X, 60 para cateto Y e 75 para a hipotenusa.

Examinando com mais cuida o leitor pode notar que o Teorema de Pitágoras impera nas relações entre estes três quadrados mágicos.

Se elevarmos ao quadrado o valor de qualquer uma das células do quadrado mágico da hipotenusa o resultado é igual à soma dos quadrados dos valores das células correspondentes ao cateto X e ao cateto Y.

Por exemplo, para a célula A1, no quadrado mágico da hipotenusa A1 = 40; no cateto X, A1 = 24 e no cateto Y, A1 = 32, então:

402= 242 + 322 ? 1.600 = 576 + 1.024 ? 1.600 = 1.600

Isto ocorre também com o qualquer soma dos valores que compões determinada linha, coluna ou diagonal, como foi dito anteriormente a soma dos valores são 45 para o cateto X, 60 para cateto Y e 75 para a hipotenusa, logo:

752= 452 + 602 ? 5.625 = 2.025 + 3.600 ? 5.625 = 5.625

Da mesma forma se elevar ao quadrado a soma dos valores de duas células de qualquer linha, coluna ou diagonal do quadrado mágico da hipotenusa é igual ao quadrado da soma das respectivas células dos quadrados mágicos do cateto X e do cateto Y.

Por exemplo, para as células A1 e C3, no quadrado mágico da hipotenusa A1 = 40 e C3 = 10; no cateto X, A1 = 24 e C3 = 6 e no cateto Y, A1 = 32 e C3 = 8, então:

(40 + 10)2 = (24 + 6)2 + (32 + 8)2 ?

? 502 = 302 + 402 ? 2.500 = 900 + 1.600 ? 2.500 = 2.500 (V)

Outro exemplo, para as células B1 e B2, no quadrado mágico da hipotenusa B1 = 5 e B2 = 25; no cateto X, B1 = 3 e B2 = 15 e no cateto Y, B1 = 4 e B2 = 20, então:

(5 + 25)2 = (3 + 15)2 + (4 + 20)2 ?

? 302 = 182 + 242 ? 900 = 324 + 576? 900 = 900 (V)

Além disso, note que a soma de todos os valores do quadrado mágico do cateto X é 135, do cateto Y é 180 e da hipotenusa é 225, então aplicando o Teorema de Pitágoras:

2252= 1352 + 1802 ? 50.625 = 18.225 + 32.400? 50.625 = 50.625 (V)
 
Fonte: HEATH, Royal V. Mathemagic: Magic, Puzzles and Games with Numbers (Dover Recreational Math) Paperback ? June 1, 1953.




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