Matemática
Portanto:
- Sequência De Fibonacci
Olá gente! Você já deve ter ouvido falar sobre a sequência de Fibonacci. Caso contrário, não tema, pois esse é o nosso assunto de hoje. Um pouco de história Leonardo de Pisa (1170-1250), apelidado de Fibonacci, foi um importante matemático...
- Aula 3 Sobre Matriz - "operações Com Matrizes"
Olá, gente! Hoje darei continuidade as aulas sobre matrizes. Veja aqui a AULA 1 e a AULA 2. Pretendo postar mais do que as 5 aulas previstas para essa série e "emendar" com determinantes. Hoje falarei das operações feitas com matrizes. E mais alguns...
- Regra De Cramer
A Regra de Cramer é um teorema em álgebra linear, que dá a solução de um sistema de equações lineares em termos de determinantes. Recebe este nome em homenagem a Gabriel Cramer (1704 - 1752). ...
- Razão De Secção
Consideremos três pontos: $A(x_a,y_a)$, $B(x_b,y_b)$ e $C(x_c,y_c)$, pertencentes a uma mesma reta $r$, oblíqua aos eixos $x$ e $y$ e ainda sendo $B$ e $C$ distintos. Definição:A razão $k$ das medidas algébricas de $\overline{AC}$ e $\overline{CB}$...
- Integral De $1/(1+x^2)^2dx$
Considere a integral: $$\int \left ( \frac{1}{1+x^2} \right )^2$$ Para resolvê-la, utilizamos uma substiruição trigonométrica, fazendo: \begin{matrix} x&=&\tan(u)\\ dx&=&\sec^2(u)du\\ \end{matrix} Assim temos: \begin{equation} \int...
Matemática
Triângulo de Pascal
O Triângulo de Pascal é um triângulo numérico formado por Binômios de Newton (leia o post sobre binômio de Newton) $$\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$$, onde $$n$$ representa o número da linha (posição vertical) e $$K$$ representa o número da coluna (posição horizontal). O triângulo foi descoberto pelo matemático chinês Yang Hui, e 500 anos depois várias de suas propriedades foram estudadas pelo francês Blaise Pascal (Veja Biografia)
Propriedades:
Relação de Stifel.
Cada número do Triângulo de Pascal é igual a soma do númedo imediatamente acima e do antecessor do número acima $$\begin{pmatrix}n - 1\\k - 1\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}n - 1\\k\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}$$
$$\begin{matrix} &\mathbf{0}&\mathbf{1}&\mathbf{2}&\mathbf{3}&\mathbf{4}&\mathbf{5}\\ \mathbf{0}&1&&&&&\\\mathbf{1}&1&1&&&&\\ \mathbf{2}&1&2&1&&&\\\mathbf{3}&1&3&3&1&&\\ \mathbf{4}&1&4&\underline{\overline{6}}&\underline{\overline{4}}&1&\\ \mathbf{5}&1&5&10&\underline{\overline{10}}&5&1\\ \end{matrix}$$
Portanto:
$$\begin{pmatrix}4\\2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}4\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\3\end{pmatrix}$$
$$6 + 4 = 10$$
Soma de uma linha:
A soma de uma linha no Triângulo de Pascal é igual a $$2^n$$.
$$\begin{matrix} &\mathbf{0}&\mathbf{1}&\mathbf{2}&\mathbf{3}&\mathbf{4}&\mathbf{5}&\mathbf{6}&\mathbf{2^{n}}\\ \mathbf{0}&1&&&&&&&{2^{0}=1}\\\mathbf{1}&1&1&&&&&&{2^{1}=2}\\ \mathbf{2}&1&2&1&&&&&{2^{2}=4}\\\mathbf{3}&1&3&3&1&&&&{2^{3}=8}\\ \mathbf{4}&1&4&6&4&1&&&{2^{4}=16}\\ \mathbf{5}&1&5&10&10&5&1&&{2^{5}=32}\\ \mathbf{6}&1&6&15&20&15&6&1&{2^{6}=64} \end{matrix}$$
Soma de uma coluna
A soma da coluna, no triângulo de Pascal, pode ser calculada pela relação
$$\begin{pmatrix}n\\n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}n + 1\\n\end{pmatrix} + ... + \begin{pmatrix}n + k\\n\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}n + k + 1\\n + 1\end{pmatrix}$$
$$\begin{matrix} &\mathbf{0}&\mathbf{1}&\mathbf{2}&\mathbf{3}&\mathbf{4}&\mathbf{5}&\mathbf{6}\\ \mathbf{0}&1&&&&&&\\\mathbf{1}&1&\underline{\overline{1}}&&&&&\\ \mathbf{2}&1&\underline{\overline{2}}&1&&&&\\ \mathbf{3}&1&\underline{\overline{3}}&3&1&&&\\ \mathbf{4}&1&\underline{\overline{4}}&6&4&1&&\\ \mathbf{5}&1&5&\underline{\overline{10}}&10&5&1&\\ \mathbf{6}&1&6&15&20&15&6&1 \end{matrix}$$
Portanto:
$$1 + 2 + 3 + 4 = 10$$
Simetria
O triângulo de Pascal apresenta simetria em relação à altura, se escrito da seguinte forma:
$$\,\! \begin{matrix} {\begin{matrix}&&\\&&\\&&\\&&\\&&\\&&1\\&1&\\1&&7\end{matrix}} & {\begin{matrix}&&&&1&&&&\\&&&1&&1&&&\\&&1&&2&&1&&\\&1&&3&&3&&1&\\1&&4&&6&&4&&1\\&5&&10&&10&&5&\\6&&15&&20&&15&&6\\&21&&35&&35&&21&\end{matrix}} & {\begin{matrix}&&\\&&\\&&\\&&\\&&\\1&&\\&1&\\7&&1\end{matrix}} \end{matrix}$$
Isso se deve ao fato de que: $$\begin{pmatrix}n\\k\end{pmatrix}= \frac{n!}{k!(n - k)!} = \frac{n!}{(n - k)!k!} = \begin{pmatrix}n\\n - k\end{pmatrix}$$
- Sequência De Fibonacci
Olá gente! Você já deve ter ouvido falar sobre a sequência de Fibonacci. Caso contrário, não tema, pois esse é o nosso assunto de hoje. Um pouco de história Leonardo de Pisa (1170-1250), apelidado de Fibonacci, foi um importante matemático...
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- Integral De $1/(1+x^2)^2dx$
Considere a integral: $$\int \left ( \frac{1}{1+x^2} \right )^2$$ Para resolvê-la, utilizamos uma substiruição trigonométrica, fazendo: \begin{matrix} x&=&\tan(u)\\ dx&=&\sec^2(u)du\\ \end{matrix} Assim temos: \begin{equation} \int...