Matemática

Regra de Cramer

A Regra de Cramer é um teorema em álgebra linear, que dá a solução de um sistema de equações lineares em termos de determinantes. Recebe este nome em homenagem a Gabriel Cramer (1704 - 1752).

Se $A \vec x= \vec b$ é um sistema de equações. (A é a matriz de coeficientes do sistema, $\vec x$ é o vetor coluna das incógnitas e $\vec b$ é o vetor coluna os termos independentes)

Então a solução ao sistema se apresenta assim:

$x_j = {\left| A_j \right| \over \left| A \right|}$

Em que Aj é a matriz que se obtém da matriz A substituindo a coluna j pela coluna dos termos independentes b.

DEMONSTRAÇÃO

Sejam:

$\vec x = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}; A = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn}\end{bmatrix}; \vec b = \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix}$

$A_j = \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1j-1} & b_1 & a_{1j+1} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \ddots & & & & & \vdots \\ \vdots & & \ddots & & & & \vdots \\ \vdots & & & \ddots & & & \vdots \\ \vdots & & & & \ddots & & \vdots \\ \vdots & & & & & \ddots & a_{n-1n} \\ a_{n1} & \cdots & a_{nj-1} & b_n & a_{nj+1} & \cdots & a_{nn}\end{bmatrix}$

Usando as propriedades da multiplicação de matrizes:

$A \vec x = \vec b \Leftrightarrow A^{-1} A \vec x = A^{-1} \vec b \Leftrightarrow I \vec x = A^{-1} \vec b \Leftrightarrow \vec x = A^{-1} \vec b$

então:

$\vec x = A^{-1} \vec b = \frac{(\operatorname{Adj} A)}{\left| A \right|} \vec b$

Sejam:

$A^{-1} \vec b = p_{jk}$

$(\operatorname{Adj}A) = \frac{A^\prime_{pl}}{A^\prime_{pl}} = A_{lp}$

Portanto:

$A^{-1} \vec b = p_{jk} = \sum_{i=1}^n \frac{A^\prime_{ji}}{\left| A \right|} b_{ik} = \frac{\sum_{i=1}^n A_{ij} b_i }{\left| A \right|} =_{\rm (1)} {\left| A_j \right| \over \left| A \right|}$

Recordando a definição de determinante, o somatório definido acumula a multiplicação do elemento adjunto o cofator da posição ij, com o elemento i-ésimo do vetor B (que é precisamente o elemento i-ésimo da coluna j, na matriz

A j

EXEMPLO:

Um bom exemplo é a resolução de um simples sistema de equações 2x2:

Dado

$ax+by = e\,$

$cx+dy = f\,$

que em forma matricial é:

$\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} e \\ f \end{bmatrix}$

x e y podem ser resultados usando a regra de Cramer

$x = \frac { \begin{vmatrix} e & b \\ f & d \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = { ed - bf \over ad - bc}$

$y = \frac { \begin{vmatrix} a & e \\ c & f \end{vmatrix} } { \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} } = { af - ec \over ad - bc}$

REFERÊNCIAS

http://pt.wikipedia.org/wiki/Regra_de_Cramer

- Regra De Cramer
Dado o sistema: 2x + 8y = 0 9x + 6y = 15 Notemos que a matriz incompleta desse sistema é: 2 8 9 6 Onde o determinante é dado por D = 2*6 – 8*9 →12 – 72 → – 60 Verificamos que o D ≠ 0, então o sistema é possível e determinado. A...

- Representação Matricial De Um Sistema
Um sistema de equações pode ser representado na forma de uma matriz. Os coeficientes das incógnitas serão os elementos da matriz que ocuparão as linhas e as colunas de acordo com o posicionamento dos termos no sistema. O sistema terá a seguinte...

- Solução De Um Sistema Utilizando A Regra De Cramer
Dado o sistema: 2x + 8y = 0 9x + 6y = 15 Notemos que a matriz incompleta desse sistema é: 2 8 9 6 Onde o determinante é dado por D = 2*6 – 8*9 →12 – 72 → – 60 Verificamos que o D ≠ 0, então o sistema é possível e determinado. A...

- Sistemas Pela Regra De Cramer
Um sistema de duas equações com duas incógnitas pode ser resolvido pelos seguintes métodos: adição e subtração. Os sistemas que apresentam três ou mais equações envolvendo três ou mais incógnitas também podem ser resolvidos pelos métodos...

- Regra De Cramer Para Resolução De Sistemas
Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah Gonçalves E Biologia na rede privada de Salvador-Bahia Professor Antonio Carlos carneiro Barroso email [email protected] HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com e HTTP://accbarroso60.wordpress.com...

Matemática