Matemática
Um sistema de duas equações com duas incógnitas pode ser resolvido pelos seguintes métodos: adição e subtração. Os sistemas que apresentam três ou mais equações envolvendo três ou mais incógnitas também podem ser resolvidos pelos métodos enunciados. O problema fica por conta dos excessivos cálculos quando utilizamos esses métodos na resolução dos sistemas. Um método simples e prático consiste em relacionar os sistemas a matrizes quadradas e utilizar o método de Cramer.
A utilização do método de Cramer requer conhecimento sobre a determinação do determinante de uma matriz pelo método de Sarrus, que consiste na diferença entre a soma dos produtos dos elementos da matriz principal pela soma dos produtos dos elementos da matriz secundária. Observe como aplicar a regra de Sarrus, calculando o determinante da matriz A:
A utilização do método de Cramer requer conhecimento sobre o cálculo do determinante de uma matriz pelo método de Sarrus,
Reescrever a matriz A repetindo as duas colunas:
Soma dos produtos dos elementos da diagonal principal
2 * 3 * (–4) = –24
6 * 2 * 7 = 84
1 * 4 * 2 = 8
Total = – 24 + 84 + 8 = 68
Soma dos produtos dos elementos da diagonal secundária
1 * 3 * 7 = 21
2 * 2 * 2 = 8
6 * 4 * (–4) = – 96
Total = –96 + 21 + 8 = – 67
Subtração entre os resultados das diagonais
68 – (–67)
68 + 67
135
Dado o sistema de equações
, vamos aplicar a regra de Cramer na obtenção dos valores de x, y e z.
1º passo: calcular o determinante da matriz dos coeficientes numéricos do sistema.
Diagonal principal
2 * (–2) * (–4) = 16
1 * 3 * 3 = 9
(–1) * ( 1 ) * 4 = – 4
Soma = 21
Diagonal secundária
(–1) * (–2) * 3 = 6
2 * 3 * 4 = 24
1 * 1 * (–4) = – 4
Soma = 26
Diferença entre as diagonais
21 – 26 = – 5
D = –5
2º passo: calcular o determinante da matriz Dx, construída substituindo a coluna dos coeficientes numéricos de x pela coluna dos elementos constantes do sistema.
Diagonal principal
3 * (–2) * (–4) = 24
1 * 3 * 2 = 6
(–1) * 9 * 4 = – 36
Soma = – 6
Diagonal secundária
(–1) * (–2) * 2 = 4
3 * 3 * 4 = 36
1 * 9 * (–4) = –36
Soma = 4
Diferença entre as diagonais
– 6 – 4
Dx = – 10
3º passo: calcular o determinante da matriz Dy, construída substituindo a coluna dos coeficientes numéricos de y pela coluna dos elementos constantes do sistema.
Diagonal principal
2 * 9 * (–4) = – 72
3 * 3 * 3 = 27
(–1) * 1 * 2 = – 2
Soma = –47
Diagonal secundária
(–1) * 9 * 3 = – 27
2 * 3 * 2 = 12
3 * 1 * (–4) = –12
Soma: –27
Diferença entre as diagonais
– 47 – ( – 27)
– 47 + 27
Dy = – 20
4º passo: calcular o determinante da matriz Dz, construída substituindo a coluna dos coeficientes numéricos de z pela coluna dos elementos constantes do sistema.
Diagonal principal
2 * (–2) * 2 = – 8
1 * 9 * 3 = 27
3 * 1 * 4 = 12
Soma = 31
Diagonal secundária
3 * (–2) * 3 = – 18
2 * 9 * 4 = 72
1 * 1 * 2 = 2
Soma = 56
Diferença entre as diagonais
31 – 56
Dz = – 25
Os valores de x, y e z são calculados segundo a seguinte relação:
O conjunto solução do sistema , de acordo com regra de Cramer, é:
S = {x = 2, y = 4 e z = 5}
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- Determinante De Matriz De Ordem 1, 2 Ou 3
Podemos calcular o determinante de qualquer matriz desde que essa seja quadrada, ou seja, que a matriz tenha o mesmo número de linhas e de colunas (seja uma matriz de ordem n x n). Podemos dizer que determinante de uma matriz quadrada é o seu valor...
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Uma matriz constitui uma ferramenta matemática utilizada em diversas situações relacionadas à Informática e Engenharia. Elas são formadas por elementos distribuídos em linhas e colunas (aij), onde i: linhas e j: colunas. As matrizes possuem inúmeras...
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Regra de SarrusMarcos Noé Regra de SarrusA Regra de Sarrus é utilizada no cálculo de determinantes de matrizes quadradas. Sua aplicação permite o cálculo de maneira prática, relacionando a diagonal principal com a diagonal...
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Cálculo do determinante de uma matriz quadradaMarcelo Rigonatto Matriz quadradaMatriz quadrada é uma matriz que apresenta o número de linhas e colunas iguais. A toda matriz quadrada está associado um número que recebe a denominação...
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Resolvendo sistemasSabemos que sistema linear é um conjunto de n equações lineares com n incógnitas relacionadas entre si. A solução de um sistema linear pode ser obtida de várias maneiras. Veremos uma das formas de resolução de um sistema...
Matemática
Sistemas pela Regra de Cramer
Um sistema de duas equações com duas incógnitas pode ser resolvido pelos seguintes métodos: adição e subtração. Os sistemas que apresentam três ou mais equações envolvendo três ou mais incógnitas também podem ser resolvidos pelos métodos enunciados. O problema fica por conta dos excessivos cálculos quando utilizamos esses métodos na resolução dos sistemas. Um método simples e prático consiste em relacionar os sistemas a matrizes quadradas e utilizar o método de Cramer.
A utilização do método de Cramer requer conhecimento sobre a determinação do determinante de uma matriz pelo método de Sarrus, que consiste na diferença entre a soma dos produtos dos elementos da matriz principal pela soma dos produtos dos elementos da matriz secundária. Observe como aplicar a regra de Sarrus, calculando o determinante da matriz A:
A utilização do método de Cramer requer conhecimento sobre o cálculo do determinante de uma matriz pelo método de Sarrus,
Reescrever a matriz A repetindo as duas colunas:
Soma dos produtos dos elementos da diagonal principal
2 * 3 * (–4) = –24
6 * 2 * 7 = 84
1 * 4 * 2 = 8
Total = – 24 + 84 + 8 = 68
Soma dos produtos dos elementos da diagonal secundária
1 * 3 * 7 = 21
2 * 2 * 2 = 8
6 * 4 * (–4) = – 96
Total = –96 + 21 + 8 = – 67
Subtração entre os resultados das diagonais
68 – (–67)
68 + 67
135
Dado o sistema de equações
, vamos aplicar a regra de Cramer na obtenção dos valores de x, y e z.
1º passo: calcular o determinante da matriz dos coeficientes numéricos do sistema.
Diagonal principal
2 * (–2) * (–4) = 16
1 * 3 * 3 = 9
(–1) * ( 1 ) * 4 = – 4
Soma = 21
Diagonal secundária
(–1) * (–2) * 3 = 6
2 * 3 * 4 = 24
1 * 1 * (–4) = – 4
Soma = 26
Diferença entre as diagonais
21 – 26 = – 5
D = –5
2º passo: calcular o determinante da matriz Dx, construída substituindo a coluna dos coeficientes numéricos de x pela coluna dos elementos constantes do sistema.
Diagonal principal
3 * (–2) * (–4) = 24
1 * 3 * 2 = 6
(–1) * 9 * 4 = – 36
Soma = – 6
Diagonal secundária
(–1) * (–2) * 2 = 4
3 * 3 * 4 = 36
1 * 9 * (–4) = –36
Soma = 4
Diferença entre as diagonais
– 6 – 4
Dx = – 10
3º passo: calcular o determinante da matriz Dy, construída substituindo a coluna dos coeficientes numéricos de y pela coluna dos elementos constantes do sistema.
Diagonal principal
2 * 9 * (–4) = – 72
3 * 3 * 3 = 27
(–1) * 1 * 2 = – 2
Soma = –47
Diagonal secundária
(–1) * 9 * 3 = – 27
2 * 3 * 2 = 12
3 * 1 * (–4) = –12
Soma: –27
Diferença entre as diagonais
– 47 – ( – 27)
– 47 + 27
Dy = – 20
4º passo: calcular o determinante da matriz Dz, construída substituindo a coluna dos coeficientes numéricos de z pela coluna dos elementos constantes do sistema.
Diagonal principal
2 * (–2) * 2 = – 8
1 * 9 * 3 = 27
3 * 1 * 4 = 12
Soma = 31
Diagonal secundária
3 * (–2) * 3 = – 18
2 * 9 * 4 = 72
1 * 1 * 2 = 2
Soma = 56
Diferença entre as diagonais
31 – 56
Dz = – 25
Os valores de x, y e z são calculados segundo a seguinte relação:
O conjunto solução do sistema , de acordo com regra de Cramer, é:
S = {x = 2, y = 4 e z = 5}
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Cálculo do determinante de uma matriz quadradaMarcelo Rigonatto Matriz quadradaMatriz quadrada é uma matriz que apresenta o número de linhas e colunas iguais. A toda matriz quadrada está associado um número que recebe a denominação...
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Resolvendo sistemasSabemos que sistema linear é um conjunto de n equações lineares com n incógnitas relacionadas entre si. A solução de um sistema linear pode ser obtida de várias maneiras. Veremos uma das formas de resolução de um sistema...