Um Pouco Sobre Capacitores
Matemática

Um Pouco Sobre Capacitores


O capacitor é um componente largamente utilizado em circuitos eletrônicos, tais como computadores, televisores, aparelhos de GPS, flashes de máquinas fotográficas, start de lâmpadas fluorescentes, em circuitos elétricos de ignição de motores de corrente alternadas, e infinitas outras aplicações. Os capacitores servem para armazenar pequenas quantidades de carga elétrica e por sua ampla aplicação tecnológica, o capacitor merece ser estudado com mais atenção. 


A Garrafa de Leiden: O Primeiro Capacitor

Depois que os físicos compreenderam a interação das cargas elétricas, o passo seguinte seria obter uma forma de armazená-la. A realização dessa ideia teve um importante registro na história.

O ano de $1745$ foi marcado pelo surgimento do primeiro dispositivo capaz de armazenar cargas elétricas inventado acidentalmente por Ewald Georg von Kleinst $(1700-1748)$, hoje conhecido como Garrafa de Leiden ou Leyden. A descoberta foi por acaso num experimento com eletricidade, tocando seu gerador elétrico num prego preso à cortiça de um frasco de remédio, sofrendo um grande choque ao tocar no prego. No entanto, os créditos desta descoberta é atribuída a outro inventor.

Petrus van Musschenbroek nasceu a $14$ de março de $1692$ em Leiden, Holanda e morreu em $19$ de setembro de $1761$. Nasceu em uma família que fabricava instrumentos científicos, tais como bombas de ar, microscópios e telescópios, o que explica em parte seu interesse pela ciência. Estudou na Universidade de Leiden e doutorou-se em medicina em $1715$, e mais tarde doutorou-se em Filosofia Natural, o que hoje conhecemos como Física. Visitando a Inglaterra em $1717$, conheceu Isaac Newton e tomou conhecimento de muito de seus trabalhos, que foram transmitidos em sua obra Elementa physica $(1726)$ por toda a Europa.

Em janeiro de $1746$, Petrus e seu ajudante Andreas Cunaeus, descobriram exatamente o mesmo que Ewald von Kleinst tinha experimentado no ano anterior. Eles carregaram eletricamente um pequeno jarro com água, através de uma haste metálica ligada a um gerador. Nada parecia acontecer até que, ao tocarem na haste, receberam um choque terrível, uma sensação até então desconhecida.

Petrus, então, escreveu ao naturalista francês Reaumur $(1683-1757)$, descrevendo a experiência e o seu resultado, salientando que pensara que iria morrer, e jurou que jamais a repetiria "nem que lhe oferecessem o reino da França".

Mas as notícias da descoberta de Musschenbroek espalhou-se rapidamente por toda a Europa e depois em todo o mundo. A experiência ficou conhecida, mas não compreendida, recebendo o nome de Garrafa de Leiden, referenciando a cidade natal de seu inventor.
A garrafa de Leiden tornou-se muito importante na investigação da eletricidade, pois os pesquisadores podiam levar consigo eletricidade armazenada em seus frascos. Das experiências que se seguiram, verificou-se que a água podia ser substituída por outra substância condutora.

Benjamim Franklin $(1706-1790)$ usou garrafas de Leiden em suas famosas experiências ao empinar pipas e parece que foi o primeiro a substituir a água por um metal.


Representação de um Capacitor

Há diversos modelos de capacitores para diversas finalidades, que podem ser separados em duas grandes famílias: os capacitores polarizados e os não-polarizados ou bipolares. A representação dos capacitores não-polarizados em circuitos eletrônicos é:

Já para os capacitores polarizados, utilizamos o mesmo símbolo com um sinal de $+$ indicando o terminal positivo. Na prática, ao desenhar esquemas eletrônicos, podemos utilizar outros símbolos equivalentes, sendo o terminal superior a armadura positiva do capacitor:




Estrutura de um Capacitor

Um capacitor é constituído por dois condutores denominados armaduras, que são eletrizadas por cargas elétricas de sinais contrários, mas com valores absolutos iguais. Essas armaduras são separadas por um meio isolante denominado dielétrico, que pode ser o ar, vácuo, porcelana, vidro, plástico e até mesmo o hexafluoreto de enxofre, que é um composto químico inorgânico utilizado principalmente pela indústria elétrica como meio isolante e extintor de arco elétrico.

O princípio de funcionamento de um capacitor não é muito complicado. Quando ligamos um capacitor a uma fonte de alimentação, cada placa do capacitor é eletricamente carregada com cargas elétricas de sinais contrários, $+Q$ e $-Q$, formando, assim, um campo elétrico em seu interior.

Quando dizemos que um capacitor possui uma carga $Q$, por definição, estamos nos referindo à carga $+Q$ da armadura positiva, pois as somas das cargas $+Q$ e $-Q$ é evidentemente nula.

Na figura acima, temos a representação de um capacitor de placas paralelas carregado com cargas $+Q$ e $-Q$ devido à conexão com os pólos positivo e negativo de uma fonte de alimentação de tensão igual a $U$.

Como as placas estão isoladas pelo dielétrico, depois de carregadas, o capacitor mantém essas cargas elétricas em suas armaduras. Quando o capacitor estiver carregado, se ele receber mais carga, sua diferença de potencial (ddp) é aumentada proporcionalmente. No entanto, a carga que pode ser armazenada pelo capacitor é limitada somente pela chamada ruptura do dielétrico. A carga torna-se excessiva, o que leva à elevação da ddp e logo saltará um arco entre as armaduras rompendo o dielétrico e descarregando o capacitor.

Quando um capacitor é construído, ele é concebido sobre algumas características, sendo a ddp máxima a ser aplicada, uma delas. Por isso encontramos capacitores para diversas tensões, como por exemplo  $10V$, $16V$, $25V$, $35V$, $63V$, $250V$, entre outros, dependendo da aplicação.

Carga Elétrica e Capacitância

Considerando um capacitor de armaduras planas, por exemplo, para carregarmos este capacitor, devemos ligá-lo aos pólos de uma fonte de alimentação. À medida que o capacitor vai adquirindo cargas elétricas, a ddp entre as placas vai crescendo proporcionalmente. Em determinado momento, a ddp do capacitor iguala-se à da fonte de alimentação, atingindo um equilíbrio eletrostático entre ambos e, então, cessa a carga no capacitor.
Sendo $Q$ a quantidade de carga armazenada no capacitor quando este é submetido a uma ddp $U$ entre suas armaduras, podemos definir a capacidade eletrostática ou capacitância $C$ do capacitor como o quociente de sua quantidade de carga elétrica pela ddp a ele aplicada.
\begin{equation}
C=\frac{Q}{U}
\end{equation}
Na equação $(1)$, temos que:

$\bullet$ $C$ é a constante de proporcionalidade denominada capacitância, dada em farad $(F)$;
$\bullet$ $Q$ é a carga elétrica do capacitor, dada em coulomb $(C)$;
$\bullet$ $U$ é a ddp ou tensão da fonte de alimentação, dada em volts $(V)$.

Quanto maior a quantidade de carga que um condutor puder armazenar, maior será sua capacidade.

No $S.I.$, a unidade de medida de capacitância é o farad, representado pela letra maiúscula $F$ em homenagem ao físico inglês Michael Faraday, sendo definida por:

$$\text{capacitância}=\frac{\text{carga}}{\text{tensão}}=\frac{\text{Coulomb}}{\text{Volt}}=\text{Farad}=F=\frac{C}{V}$$
Assim:
\begin{equation}
1F=\frac{1C}{1V}
\end{equation}
A unidade de $1F$ é muito grande, pois dificilmente poderíamos obter um capacitor que, recebendo a carga de $1$  coulomb em suas armaduras, adquirisse o potencial de apenas $1$ volt.

A capacidade de um capacitor está relacionado ao seu tamanho, forma geométrica e o material do dielétrico. Hoje em dia, os capacitores são componentes muito pequenos, que resultam em pequenos valores para sua capacitância. Assim, utilizamos submúltiplos do farad: microfarad $(\mu F)=10^{-6}$, nanofarad $(nF)=10^{-9}$ e picofarad $(pF)=10^{-12}$.

Exemplo $1$: Um capacitor de $1000 \mu F$ foi conectado a uma bateria de automóvel com tensão nominal igual a $12V$ até ser carregado completamente. Determinar a carga por ele adquirida e a ddp necessária para que o capacitor seja carregado com uma carga de $27mC$.

Para a resolução deste problema, utilizamos a fórmula dada em $(1)$:
\begin{matrix}
Q=C\cdot U\\
Q=1.000\times 10^{-6}\cdot 12\\
Q=1\times 10^{3}\times 10^{-6}\cdot 12\\
Q=12mC\\
\end{matrix}
Como a capacitância não varia , assim, para obter uma nova carga, devemos ter outra ddp:
\begin{matrix}
U=\frac{Q}{C}\\
U=\frac{27\times 10^{-3}}{1\times 10^{-3}}\\
U=27V
\end{matrix}

Energia Potencial Elétrica de um Capacitor

Uma fonte de alimentação, ao carregar um capacitor, fornece-lhe energia potencial elétrica que fica armazenada nele. Como a carga de um capacitor é diretamente proporcional à sua ddp, o gráfico da carga em função da ddp é uma reta que passa pela origem.
A energia potencial elétrica armazenada pelo capacitor é numericamente igual à área $A$ sob a curva. Então:
$$E=\frac{Q\cdot U}{2}$$
Mas como $Q=C\cdot U$, logo:
\begin{equation}
E=\frac{C\cdot U^2}{2}
\end{equation}

Fatores que Influenciam na Capacitância

A capacitância de um capacitor é uma constante característica do componente. Para as diversas aplicações em circuitos eletrônicos existem uma gama muito grande de valores distintos para capacitâncias e tensões. Essa variedade se dá por algumas características intrínsecas do componente.

A área das armaduras influi diretamente na capacitância, sendo a capacitância $C$ proporcional à área $A$ de cada armadura:
\begin{equation}
C \propto A
\end{equation}
Desse modo, quanto maior a área das armaduras, maior a capacitância. Na garrafa de Leiden, por exemplo, para aumentar sua capacitância, tinha-se que aumentar muito seu volume. Hoje em dia, os capacitores ocupam um volume muito pequeno com uma grande capacitância, utilizando folhas de alumínio compridas e enroladas como armaduras, separadas por papel parafinado.

A espessura do dielétrico também influi na capacitância, de modo que quanto menor for a distância $d$ entre as armaduras do capacitor, maior será sua capacitância $C$:
\begin{equation}
C\propto \frac{1}{d}
\end{equation}
Nos capacitores modernos, utiliza-se dielétricos com grande poder de isolamento com espessuras muito pequenas, de modo a obter grandes capacitâncias.

O Capacitor Plano

O capacitor plano é constituído por duas armaduras planas e paralelas separadas por um dielétrico.

Seja a área $A$ de cada uma das armaduras e $d$ a distância entre elas. Temos então que:

A capacitância $C$ do capacitor é diretamente proporcional à área $A$ das armaduras e inversamente proporcional À distância $d$ entre elas:
\begin{equation}
C=\varepsilon \frac{A}{d}
\end{equation}
onde $\varepsilon$ é uma constante característica do dielétrico denominada permissividade do meio. A permissividade descreve como um campo elétrico afeta e é afetado por um meio, sendo determinada por quanto um material se polariza em resposta a um campo elétrico aplicado. No vácuo, a permissividade vale:
$$\varepsilon_0=8,8541878175 \times 10^{-12}F/m$$
A constante dielétrica de um meio, denotada por $k$ (também encontrada como $varepsilon_r$), é a razão entre a permissividade do meio e a permissividade no vácuo:
\begin{equation}
k=\frac{\varepsilon}{\varepsilon _0}
\end{equation}
Na tabela abaixo, temos alguns valores da constante dielétrica para alguns materiais:
Vejam mais valores aqui.
Substituindo o valor de $\varepsilon$ da equação $(7)$ na equação $(6)$, podemos definir a capacitância de um capacitor plano como:
\begin{equation}
C=k \varepsilon _0 \frac{A}{d}
\end{equation}
Dessa forma, para aumentar a capacitância de um capacitor plano, podemos fazer uma ou mais modificações:

$\bullet$ aumentar a área $A$ das armaduras;
$\bullet$ diminuir a distância $d$ entre as armaduras;
$\bullet$ inserir um dielétrico de maior constante dielétrica.

Associação de Capacitores

Na prática, quando estamos desenvolvendo um protótipo ou efetuando alguns ensaios e precisamos experimentar alguns valores de capacitores, nos resta associá-los para obter um valor específico, ou em série, em paralelo ou mesmo em uma associação mista. No entanto, devemos recorrer a valores comerciais para a utilização de capacitores em circuitos eletrônicos.

Então, ao estudarmos associações de capacitores é muito útil buscar um capacitor que seja equivalente a todos os capacitores daquela associação. Este deverá ter as mesmas propriedades da associação e, assim, as mesmas funções. Sua capacitância é denominada capacitância equivalente $C_{eq}$.

Para que haja equivalência entre o capacitor e a associação, o capacitor equivalente deve ser dotado das seguintes propriedades:

$\bullet$ a ddp entre seus terminais deve ser igual a ddp entre os terminais da associação:
$$U_{eq}=U_1+U_2+U_3+\cdots +U_N=U$$
$\bullet$ a carga elétrica armazenada por ele deve ser igual à carga da associação:
$$Q_{eq}=Q_{assoc}=Q$$
Desse modo, por definição, a capacitância equivalente é dada por:
\begin{equation}
C_{eq}=\frac{Q}{U}\Leftrightarrow Q=C_{eq}\cdot U
\end{equation}

Associação de Capacitores em Paralelo

Podemos associar dois ou mais capacitores em paralelo e representá-los esquematicamente como:
Para carregar os capacitores de uma associação em paralelo, devemos ligar os pontos $A$ e $B$ da associação a uma fonte de alimentação. Uma vez carregados os capacitores, as placas ligadas ao pólo positivo da fonte adquire carga elétrica positiva e as placas ligadas ao pólo negativo da fonte adquirem cargas negativas.

Percebemos pela relação $\displaystyle C=\frac{Q}{U_{AB}}$ que cada capacitor da associação receberá uma carga proporcional à sua capacitância e a ddp $U_{AB}$ em cada capacitor é a mesma ddp $U$ existente nos pólos da fonte de alimentação. Como as placas de mesma polaridade estão ligadas entre si, a carga elétrica da associação é igual à soma das cargas elétricas parciais:
\begin{equation}
Q_{eq}=Q_1+Q_2+Q_3+\cdots +Q_N=Q
\end{equation}
Considerando $C_1$, $C_2$, $C_3$, $\cdots$ ,$C_N$ as capacitâncias e $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$, $\cdots$, $Q_N$ as cargas nas armaduras de cada um dos capacitores, temos que:
$$C_1=\frac{Q_1}{U}, \qquad C_2=\frac{Q_2}{U}, \qquad \cdots  \qquad ,C_N=\frac{Q_N}{U}$$
De modo que:
$$Q_1=C_1\cdot U, \qquad Q_2=C_2\cdot U,  \qquad \cdots \qquad Q_N=C_N\cdot U$$
O que nos leva a:
$$Q_1+Q_2+Q_3+\cdots +Q_N=C_1\cdot U+C_2\cdot U+ \cdots +C_N\cdot U$$
$$Q=(C_1+C_2+\cdot +C_N)\cdot U$$
E pela definição de capacitância dada em $(1)$, temos:
$$C_{eq}=\frac{Q}{U}=\frac{(C_1+C_2+\cdots +C_N)\cdot U}{U}$$
\begin{equation}
C=C_1+C_2+\cdots +C_N
\end{equation}
Podemos concluir que numa associação de capacitores em paralelo:
$\bullet$ a capacitância equivalente é igual à soma das capacitâncias;
$\bullet$ a ddp entre os terminais de cada capacitor da associação são iguais entre si;
$\bullet$ a carga elétrica da associação é igual à soma das cargas elétricas parciais.

Associação de Capacitores em Série

Podemos associar dois ou mais capacitores em série e representá-los esquematicamente por:

Para carregar os capacitores de uma associação em série, conectamos as extremidades $A$ e $B$ a uma fonte de alimentação. Na associação em série, todos os capacitores adquirem a mesma carga elétrica $Q$, em razão da indução total entre as duas placas, de modo que:
\begin{equation}
Q_1=Q_2=Q_3=\cdots =Q_N=Q
\end{equation}
No entanto,, estas cargas não se somam e a carga da associação equivale a $Q$. Como a carga $Q$ é a mesma em todos os capacitores da associação, a tensão $U$ em cada capacitor depende apenas da capacitância $C$ de cada capacitor, de modo que:
\begin{equation}
C=\frac{Q}{U} \Rightarrow U=\frac{Q}{C}
\end{equation}
Portanto, para cada capacitor da associação, temos:
\begin{equation}
U_1=\frac{Q}{C_1}, \qquad U_2=\frac{Q}{C_2}, \qquad \cdots  \qquad ,U_N=\frac{Q}{C_N}
\end{equation}
Sendo a tensão entre os terminais $A$ e $B$ da associação igual à soma das tensões parciais. Assim:
\begin{equation}
U_{AB}=U_1+U_2+\cdots +U_N
\end{equation}
O capacitor equivalente deve suportar a ddp total da associação e sua carga será igual a $Q$:
\begin{equation}
U_{AB}=\frac{Q}{C_{eq}}
\end{equation}
Agora podemos calcular a capacitância equivalente da associação, substituindo as relações $(14)$ e $(16)$ ma relação $(15)$:
$$U_{AB}=U_1+U_2+\cdots +U_N$$
$$\frac{Q}{C_{eq}}=\frac{Q}{C_1}+\frac{Q}{C_2}+\cdots +\frac{Q}{C_N}$$
Dividindo toda a equação por $Q$, obtemos a fórmula geral para o cálculo de uma capacitância equivalente a uma associação em paralelo de capacitores:
\begin{equation}
\frac{1}{C_{eq}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\cdots +\frac{1}{C_N}
\end{equation}
Quando houver apenas dois capacitores na associação, talvez seja mais prático utiliza a seguinte fórmula, que é derivada da equação $(17)$:
$$\frac{1}{C_{eq}}=\frac{1}{C_1}+\frac{!}{C_2}$$
$$\frac{1}{C_{eq}}=\frac{C_2+C_1}{C_1\cdot C_2}$$
\begin{equation}
C_{eq}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}
\end{equation}
Vejam ainda que, se $C_1=C_2$, fica ainda mais fácil o cálculo:
\begin{equation}
C_{eq}=\frac{C_1C_2}{C_1+C_2}=\frac{C\cdot C}{C+C}=\frac{C\cdot C}{2C}=\frac{C}{2}
\end{equation}
Concluímos que, em uma associação de capacitores em série:

$\bullet$ o inverso da capacitância do capacitor equivalente entre $N$ capacitores é igual à soma dos inversos das capacitâncias parciais;
$\bullet$ entre dois capacitores, a capacitância equivalente é igual à razão do produto pela soma das capacitâncias;
$\bullet$ entre dois capacitores com capacitâncias iguais, a capacitância equivalente é igual à metade da capacitância parcial;
$\bullet$ Capacitores em série possuem a mesma carga elétrica $Q$, que também é a carga elétrica da associação entre os terminais $A$ e $B$;
$\bullet$ a ddp entre os terminais da associação é igual à soma das tensões parciais em cada capacitor.

Exemplo $2$: Dados três capacitores ligados em uma associação em paralelo, com capacitâncias iguais a $4,7 \mu F$, $10 \mu F$ e $33 \mu F$. Calcular a capacitância equivalente da associação.

Usamos a fórmula dada em $(11)$:
$$C_{eq}=C_1+C_2+C_3$$
$$C_{eq}=4,7+10+33=47,7  \mu F$$
Este é um vador fora dos padrões de fabricação que se aproxima de um valor comercial igual a $47 \mu F$.

Exemplo $3$: Dado uma associação mista como mostra a figura abaixo, calcular a capacitância equivalente.
Devemos dividir o problema em dois blocos. Primeiramente calculamos a capacitância equivalente aos capacitores em paralelo $C_1$ e $C_2$:
$$C_{1,2}=C_1+C_2=100nF +220nF=320nF$$
Agora calculamos a capacitância da resultante em série com o capacitor $C_3$.
$$C_{1,2,3}=\frac{C_{1,2}\cdot C_3}{C_{1,2}+C_3}=\frac{320 \cdot 47}{32+47}=41,5nF$$
Vejam que este também é um valor não-comercial. Nestes casos devemos adaptar nosso circuito para que possamos usar os valores padrões. Em eletrônica. geralemente utilizamos $KpF$ para representar valores em $nF$. Reescrevendo a resposta, Temos que $C_{eq}=41,5KpF$.

Referências:

[1] Física V. Único - Sampaio & Calçada - ed. Atual
[2] Física Básica V. Único - Nicolau, Toledo & Ronaldo - ed. Atual
[3] Física Aula por Aula V.3 - Xavier e Binigno - ed. FTD
[4] Física V.3 - Antônio Máximo & Beatriz Alvarenga - ed. Scipione
[5] Físcia V.3 Eletricidade - Paraná - ed. Ática

Veja mais: 

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