Utilizando Tábuas de Logaritmos para Encontrar Aproximações de Raízes
Vimos no post anterior uma breve introdução de como utilizar tábuas de logaritmos para calcular logaritmos de números inteiros e decimais. Vamos agora encontrar aproximações de raízes utilizando tábuas de logaritmos.
Seja a raiz quadrada de 2. Vamos encontrar a solução para:
Podemos escrever:
Utilizando a propriedade dos expoentes dos logaritmos, fazemos:
Agora, podemos consultar uma tábua de logaritmos e verificar a mantissa correspondente ao número N = 2, que é 30103. A característica de N = 2 é 0. Portanto, temos que:
Substituímos o valor encontrado em (2) na equação (1):
Aqui o problema é inverso: temos a mantissa igual a 150515 e queremos encontrar o número N. Se procurarmos na tábua de logaritmos pela mantissa 150515 não a encontraremos, mas sim valores aproximados. A mantissa 150515 está entre duas outras: 15045 e 15076, que correspondem respectivamente aos números 1414 e 1415. Isso nos mostrar que o número x que procuramos não é um número Natural. Vamos, então, encontrar a melhor aproximação possível para raiz de 2.
Temos que a característica de 0,150515 é 1, por ser um número decimal e ter apenas 1 zero antes do primeiro algarismo significativo. Se tomarmos a mantissa 1414 como base de cálculos, teremos que:
x = 1,414
que é aproximadamente a raiz quadrada de 2:
Que é uma aproximação razoável para cálculos corriqueiros.
Vamos, agora, encontrar a raiz cúbica de 9261.
Temos que:
Consultando uma tábua de logaritmos, verificamos que a mantissa correspondente ao número 9261 é 96666.
A característica do número 9261 é 3. Logo temos:
Substituímos (4) em (3), obtemos:
Temos novamente o problema inverso: temos a mantissa igual a 3222 e queremos encontrar o número N correspondente. Procurando na tábua de logaritmos pela mantissa 3222, encontramos o número N = 21, que é exatamente a raiz cúbica de 9261.
Vejam que o processo se torna mecânico após alguns exercícios e podemos expandir para equações mais complexas.
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