binômio de Newton
Matemática

binômio de Newton



Notação e fórmula

O teorema do binômio de Newton se escreve como segue:
{\left(x+y\right)}^n=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^{n-k}y^k\,\!
Os coeficientes {n \choose k} são chamados coeficientes binomiais e são definidos como:
{n \choose k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}\,\!, onde n\, e k\, são inteiros, k\leq n\, e x! = 1 \times 2 \times \ldots x\, é o fatorial de x.
O coeficiente binomial {n\choose k} corresponde, em análise combinatória, ao número combinações de n elementos agrupados k a k.

A fórmula do binômio de Newton é a fórmula que dá o desenvolvimento de (x+y)n
     Desenvolvendo o binômio (x + y)n, n ? ?, encontramos: (x+y)n =







Toda potência da forma (x+y)n , com x,y ? ? e n ? ?, é conhecido como binômio de Newton. O desenvolvimento do binômio de Newton é simples em casos como os seguintes, que você já estudou no ensino fundamental.
Você aprendeu que:
a) (x+y)0 = 1                                                 -1 termo.
b) (x+y)1 = 1x   + 1y                                    -2 termos.
c) (x+y)2 = 1x²  + 2xy + 1y²                        -3 termos.
d) (x+y)3 = 1x3  + 3x2y+3xy2 +1y3           -4 termos.
e) (x+y)4 = ?                                           
      .
      .
      .
Um dos processos para determinar (x+y)4  é efetuar o produto (x+y)3  (x+y) que você já conhece e sabe que muita ?mão de obra?.
E se continuar aumentando o expoente do binômio. Como fica?
Em casos como (x+y)7 , (2x-y)5 , (x+2)10  e tantos outros, vamos recorrer à
análise combinatória.
Observe os exemplos:






-   
  

 


O número de termos é dado pelo n+1 termos
-         O n é o valor do expoente do binômio
-         O expoente de x decresce de n até 0
-         O expoente de y cresce de 0 até n.
-         O desenvolvimento do binômio (x + y)n é um polinômio.
-         O desenvolvimento de (x + y)n possui (n + 1) termos.
-  Os coeficientes dos termos eqüidistantes dos extremos, no desenvolvimento de (x + y)n são iguais.
-         A soma dos coeficientes de (x + y)n é igual a 2n.


Triângulo de Pascal e o binomio de Newton

A matemática tem a particularidade de relacionar ideias que, à primeira vista, parecem completamente independentes. É o que se passa com o triângulo de Pascal e com a fórmula binomial de Newton.

Cada linha do triângulo de Pascal representa os coeficientes do desenvolvimento de uma determinada potência do binómio (a+b).






REFERÊNCIAS:

CARVALHO, P. C. P; LIMA, E. L.; MORGADO, A. C; WAGNER, E. ? A Matemática do Ensino Médio. Vol. 2. Coleção do Professor de Matemática. Sociedade Brasileira de Matemática. 1998
CARVALHO, J. B. P; CARVALHO, P. C. P; FERNANDEZ, P; MORGADO, A. C de O. ? Análise Combinatória e Probabilidade. Coleção do Professor de Matemática.




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