Demonstração da Fórmula para as Coordenadas do Baricentro de um Triângulo
Da geometria plana, sabemos que o baricentro ou centróide G de um triângulo é o encontro das três medianas e as divide numa razão de 2 para 1, sendo o segmento maior o que possui extremidade no vértice do triângulo.
Neste artigo, vamos demonstrar que as coordenadas do baricentro de um triângulo, representado num sistema de coordenadas retangulares, são dadas pelas fórmulas:
Seja o triângulo ABC, cujas coordenadas dos vértices são respectivamente: A(xa , ya), B(xb , yb) e C(xc , yc). Seja o ponto médio referente ao lado BC representado por D(xd , yd). Sejam as coordenadas do baricentro representado por G(xg , yg).
O ponto médio de um segmento é dado pela semi-soma de suas coordenadas. Assim, as coordenadas do ponto médio do segmento BC são dadas por:
Como o ponto G divide uma mediana numa razão de 2:1, temos a relação referente à mediana ao lado BC. (Vejam o artigo sobre A Mediana de um Triângulo no Blog Fatos Matemáticos):
Coordenada da abscissa
Considerando as abscissas dos pontos A, G e D e a relação (2), temos que:
Substituindo a relação (1) em (3), obtemos:
Coordenada da ordenada
Analogamente ao que fizemos para encontrar a coordenada da abscissa do baricentro, fazemos para a ordenada:
Substituindo a relação (1) em (4), obtemos:
Exemplo 1: Seja o triângulo ABC cujas coordenadas são dadas por: A(0,1), B(6,–2) e C(4,3). Determinar as coordenadas do baricentro G.
Aplicando as fórmulas, vamos determinar as coordenadas do baricentro.
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Assim, as coordenadas do baricentro do triângulo são:
Exemplo 2: Dois vértices de um triângulo são A(0,0) e B(9,0). O centróide é dado pelo ponto (6,1). Ache o terceiro vértice do triângulo.
Resolução: Seja C(xc, yc) o terceiro vértice. Assim:
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As coordenadas do terceiro vértice são dadas por C(9, 3).
Exercício Proposto: Quais são as coordenadas do baricentro do triângulo MNP obtido de um triângulo ABC, sendo M o ponto médio de AB, N o ponto médio AC e P o ponto médio de BC?
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