Matemática
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Matemática
Por que "menos vezes menos dá mais"?
Por: Profº Pedro Roberto de Lima - Blog Manthanos.
As pessoas sabem desde muito cedo (talvez desde o fundamental) que as regras de sinais para a multiplicação podem ser representadas por algo como uma tabelinha:
Se alguma das regras acima pode causar perplexidade é a segunda: que menos vezes menos dá mais, pois ela não é tão intuitiva. Esta postagem se dedica então a demonstrá-la.
É claro que ninguém duvida da veracidade desta regra , afinal certamente elas nunca falharam, mas não é difícil encontrar um indivíduo que não sabe de onde é que ela saiu.
Para responder de forma simples a pergunta porque "menos vezes menos dá mais"? poderíamos simplesmente dizer que é uma consequência lógica de alguns axiomas.
Mas dizer apenas isto é muito pouco instrutivo e não satisfaz a ninguém. Vamos então para uma demonstração:
Para mostrar que, de fato, menos vezes menos dá mais precisamos admitir alguns fatos relacionados aos números reais. Vamos chamá-los de axiomas e simplesmente aceitá-los como sendo válidos:
Observação: Todas as letras em negrito abaixo (x, y, z, a e b) representam números reais.
1º axioma: a igualdade é reflexiva, ou seja, todo valor é igual a si próprio:
x = x
2º axioma: se a dois valores iguais somarmos um terceiro valor os resultados serão iguais, ou seja:
Se x = y, então x + z = y + z
3º axioma: a operação de adição é associativa, isto significa que o modo como os parênteses são arranjados é totalmente desimportante:
x + (y + z) = (x + y) + z
4º axioma: todo número x tem um simétrico que é denotado por -x. Quando somamos um número ao seu simétrico obtemos zero:
x + (-x) = 0
5º axioma: o número zero é o elemento nulo da adição, ou seja:
x + 0 = x
6º axioma: a operação de adição é comutativa, ou seja, a ordem das parcelas não altera a soma:
x + y = y + x
7º axioma: a igualdade é simétrica, ou seja:
Se x = y, então y = x
8º axioma: vale a lei distributiva, ou seja:
x(y + z) = xy + xz
(y + z)x = yx + zx
(y + z)x = yx + zx
Até aqui tudo bem, certo? Mas veja que interessante: aceitando estes axiomas obtemos algumas consequências bem legais:
Consequência [i]:
Se x + y = x, então y = 0
Veja porque isso é verdade; supõe-se que
x + y = x
Como (-x) = (-x), podemos utilizar o 2º axioma e escrever:
(-x) + (x + y) = (-x) + x
Devido ao fato de a adição ser associativa obtemos:
((-x) + x) + y = (-x) + x
Mas a soma de um elemento com seu simétrico resulta em zero, ou equivalentemente, devido à comutatividade da adição, a soma do simétrico com o elementos resulta em zero, portanto temos:
0 + y = 0
Mas o zero é o elemento nulo da adição:
y = 0
Assim fica demonstrada a consequência [i]. Vejamos mais uma consequência:
Consequência [ii]:
0x = 0
Vamos explicá-la: começamos utilizando a reflexividade:
0x = 0x
O quinto axioma nos diz que 0 = 0 + 0 (basta por o zero no lugar do x) então podemos escrever:
0x = (0 + 0)x
Pela Lei Distributiva:
0x = 0x + 0x
Como a igualdade é simétrica:
0x+ 0x = 0x
Agora, usando a consequência [i] concluímos o que queríamos:
0x = 0
Observe que a consequência [i] nos diz que se somarmos dois números e o resultado obtido for igual a um dos números somados, então o outro número é necessariamente o zero. Vamos explicar melhor:
A consequência anterior nos diz que se x + y = x, então y = 0. No nosso caso tínhamos 0x + 0x = 0x, donde resulta que 0x = 0.
Vamos ver mais uma consequência:
Consequência [iii]:
-xy = (-x)y
Prova: Pela lei distributiva podemos escrever:
xy + (-x)y = (x + (-x))y
Pelo axioma do simétrico (no segundo membro da igualdade) obtemos:
xy + (-x)y = 0y
Como o produto de zero por qualquer número é zero (devido a consequência [ii]):
xy + (-x)y = 0
Como a soma acima resulta em zero o elemento (-x)y deve ser o simétrico do elemento xy, ou seja:
(-x)y = -xy
(Observe que o que acaba de ser feito é a demonstração de que menos vezes mais dá menos).
Do mesmo modo é possível mostrar que x(-y) = -xy. O leitor que compreendeu a demonstração acima é capaz de construir esta.
Do mesmo modo é possível mostrar que x(-y) = -xy. O leitor que compreendeu a demonstração acima é capaz de construir esta.
Vamos então a consequência que, neste texto, sucede a demonstração de que menos vezes menos dá mais:
Consequência [iv]:
x = -(-x)
Veja o motivo: Pelo axioma do elemento simétrico:
x + (-x) = 0
Pela comutatividade da adição:
(-x) + x = 0
Logo x deve ser o simético de (-x) ou seja:
x = -(-x)
Todos estas consequências são necessárias para o propósito desta postagem: demonstrar que menos com menos dá mais. Na verdade para este fim precisamos diretamente apenas das consequências [iii] e [iv], contudo a consequência [iii] exige a consequência [ii] que por sua vez exige a consequência [i]. Este é o motivo de termos demonstrado todas elas.
E as quatro consequências apresentadas dependem vitalmente dos oito axiomas enunciados no início.
Vamos enfim provar que:
(-a)(-b) = ab
Temos pela reflexividade que:
(-a)(-b) = (-a)(-b)
Fazendo uso da consequência [iii] podemos escrever:
(-a)(-b) = -(a(-b))
E novamente pela mesma consequência (pela parte que ficou para o leitor demonstrar), obtemos:
(-a)(-b) = -(-ab)
E finalmente, pela consequência [iv]:
(-a)(-b) = ab
Vale salientar que enunciamos apenas os axiomas necessários e suficientes para demonstrar o que queríamos, de modo que há outros axiomas e muitas outras consequências que sequer foram mencionadas. Este conteúdo pode, sem dúvidas, ser encontrado em livros de álgebra abstrata.
REFERÊNCIAS:
NACHBIN, Leopoldo. Introdução à Álgebra. Rio de Janeiro, Editora McGraw-Hill do Brasil, Ltda. 1971.
LIMA, Elon Lages. Conceitos e Controvérsias. In: Meu Professor de matemática e Outras Histórias, Sociedade Brasileira de Matemática, 1991, p. 149-206.
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