Matemática

Sobre a definição formal de limite

O conceito de limite, embora usualmente seja estudado no nível superior, está presente em alguns pontos estudados no nível básico, como por exemplo no caso da dedução da fórmula que fornece a soma dos infinitos termos de uma PG.

O conceito de limite é essencial no Cálculo - continuidade, derivada e integral são três conceitos importantíssimos definidos em termos de limites.

O objetivo desta postagem (a primeira de uma série) é explicar a definição formal de limite. As próximas postagens da série se dedicarão a demonstrar alguns teoremas básicos que envolvem limites.

A primeira tentativa de definição formal de limite, que ocorreu em 1821 pelo matemático francês Cauchy (imagem ao lado), é a seguinte:

Quando os valores sucessivos atribuídos a uma variável aproximam-se indefinidamente de um valor fixo, chegando a diferir dele tão pouco quanto se deseje, este último é chamado limite de todos os outros.

Atualmente, a definição formal de limite contida na maioria dos livros de Cálculo é devida ao matemático alemão Karl Weierstrass (imagem ao lado) e diz o seguinte:

Diz-se que L é um limite da função f(x) para o valor x = c se, dado qualquer número positivo ?, existe um número positivo ? tal que |f(x) ? L| < ? para qualquer x que verifique 0 < |x - c| < ?.

Usualmente, para representar limites, utiliza-se a seguinte notação que chamaremos de # e que pode ser lida como ?o limite de f(x), para x tendendo a c, é L?:

Algumas maneiras equivalentes de apresentar a definição formal são as seguintes:

Seja f uma função definida em um intervalo aberto contendo c (exceto possivelmente em c) e seja L um número real. A afirmação # significa que para todo ? > 0 existe um ? > 0 tal que se 0 < |x - c|< ?, então |f(x) - L| < ?.

Sejam f uma função e c um ponto no domínio de f ou extremidade de um dos intervalos que compõem o domínio de f. Dizemos que f tem limite L, em c, se, para todo ? > 0 dado, existir um ? > 0 tal que, para todo x no domínio de f, 0 < |x - c| < ? ? |f(x) - L| < ?.

Seja f uma função definida para todo número em algum intervalo aberto contendo c, exceto possivelmente no próprio c. O limite de f(x) quando x tende a c será L, escrito como # se a seguinte afirmativa for verdadeira: Dado ? > 0 qualquer, existe um ? > 0 tal que se 0 < |x - c| < ?, então |f(x) - L| < ?.

Seja f uma função definida sobre algum intervalo aberto que contém o número c, exceto possivelmente no próprio c. Então dizemos que o limite de f(x) quando x tende a c é L, e escrevemos # se para todo ? > 0 há um número correspondente ? > 0 tal que |f(x) - L| < ? sempre que 0 < |x - c|< ?.

Basicamente o significado da definição formal é este:

Se o valor de x se aproxima de c, então o valor de f(x) se aproxima de L.

Veja um gráfico animado aqui. Esta interpretação gráfica nos ajuda a entender a ideia de limite, que tem a intenção de expressar o seguinte:

Se a distância entre x e c se torna menor, então a distância entre f(x) e L também diminui.

Ainda de outro modo:

Se a distância entre x e c fica bem pequena então a distância entre f(x) e L também fica bem pequena.

A sentença acima pode ser reformulada da seguinte maneira:

Se a distância entre x e c fica menor do que que algum número pequeno então a distância entre f(x) e L também fica menor do que que algum número pequeno.

Se convencionarmos que, como de costume, as letras gregas ? (delta) e ? (épsilon) representam números pequenos, torna-se possível escrever:

Se a distância entre x e c fica menor do que ? então a distância entre f(x) e L fica menor do que ?.

Pode-se interpretar a distância entre dois pontos como o módulo da diferença entre eles, portanto pode-se escrever:

Se |x - c| fica menor do que ? então |f(x) - L| fica menor do que ?.

Ou seja:

Se |x - c| é menor do que ? então |f(x) - L| é menor do que ?.

Fazendo uso do símbolo <, que significa "é menor do que", obtém-se:

Se |x - c| < ? então |f(x) - L| < ?

Notando agora que sentenças da forma Se "isso" então "aquilo" são ditas implicações e podem ser abreviadas pelo uso da seta ???chega-se a seguinte expressão:

|x - c| < ? ? |f(x) - L| < ?

Um detalhe importante é que, nos limites, apesar de x se aproximar tanto quanto quisermos de c ele nunca chegará em c. Disto resulta, evidentemente, que a diferença x - c jamais será igual a zero e, por conseguinte, sempre teremos |x - c| > 0, ou equivalentemente, 0 < |x - c|. Portanto, para explicitar este detalhe, geralmente se escreve:

0 < |x - c| < ? ? |f(x) - L| < ?

Mas não estamos interessados em uma distância pequena em particular, ou seja, não estamos nos referindo a algum ? específico. Quando dizemos que L é o limite de f para x tendendo a c, estamos querendo dizer que para qualquer que seja o ?, não importando o quão pequeno ele seja, sempre vai existir um ? tal que

0 < |x - c| < ? ? |f(x) - L| < ?

As definições contidas nos livros ainda dizem que f(c) não precisa estar definida, basta que f esteja definida nalgum intervalo do qual o ponto c seja um extremo (exige-se isto a fim de que seja possível "se aproximar" do ponto c). Um caso típico é o representado neste gráfico animado. Embora f(2) não esteja definida, ou seja, embora não exista f(2), o ponto 2 é extremo de um intervalo no qual f está definida (a saber, do intervalo (2,3)); além disso quando x tende a 2, f(2) tende a 4, por isso o limite de f para x tendendo a 2 é 4.

Na próxima postagem da série começa as demonstrações baseadas na definição formal.

Referências:

Livros de Cálculo dos seguintes autores: Guidorizzi; Leithold; Stewart; Larson;

Livros de Históra da Matemática de Carl B. Boyer;

Imagens extraídas da Wikipédia;

Este site.

Erros podem ser apontados aqui.

- Questão 9 ? Professor De Matemática ? Seap ? Paraná ? 2.013
Considere a seqüência an = logb1 ?5 + logb2 ?5 + ... + logbn ?5 onde b1 = a (a > 1) e bk+1 = ( bk )2 , k = 1 , ... , n ? 1. Determine o valor de a para o qual a10 =...

- Dúvida Do Leitor [sobre Limites]
Esta postagem tem o intuito de (tentar) responder a dúvida de um leitor. Em comentário publicado aqui, aparentemente ele pede para que usemos a definição formal de limite para provar o seguinte resultado:Notemos, inicialmente, que este...

- Post De Número 260
É com muita felicidade, que nós do Clave de Pi chgamos a marca de nosso post de numero 260. Agradecemos a todos que acessam nosso blog, pois sem vocês nada existiria. Também agradecemos a todos que comentam em nosso blog, aos nossos parceiros e todos...

- Fatoração
Professor de Matemática no Colégio Estadual Dinah GonçalvesE Biologia na rede privada de Salvador-BahiaProfessor Antonio Carlos carneiro Barrosoemail [email protected] HTTP://ensinodematemtica.blogspot.com eHTTP://accbarroso60.wordpress.com...

- Limites
Consideremos a função real, de variável real, definida por . Observando o gráfico da função, que esboçámos ao lado, conclui-se que: Não existe . ...

Matemática