Matemática

"Demonstração por absurdo"

Olá, gente! Hoje falarei sobre o método de demonstração por redução ao absurdo. A teoria é muito curta e intuitiva, porém a pratica pode ser muito complicada.

De forma didática, para demonstrar alguma proposição por absurdo você deve assumir que a negação dela é verdadeira e com isso mostrar que a veracidade da negação implica que a negação é falsa, que de acordo com a tautologia que citei acima torna a negação falsa e a afirmação verdadeira.

Para deixar mais claro, aqui vão alguns exemplos clássicos.

E.1- Mostre que $[;\sqrt{2};]$ é um número irracional.

Vamos supor que $[;\sqrt{2};]$ não seja irracional, então $[;\sqrt{2} = \frac{p}{q};]$ sendo [;mdc(p,q)=1;]

elevando ao quadrado 2 = $[;\frac{p^2}{q^2};]$ então

ou seja, p é multiplo de [;2;]

. Com isso

então

ou seja, q também é multiplo de [;2;]

Absurdo,pois contraria a suposição de que [;mdc(p,q)=1;]

. Logo, $[;\sqrt{2};]$ é irracional.

C.Q.D.

E.2-Prove que o conjunto dos números primos é infinito.

Vamos assumir por absurdo que o conjunto dos números primos seja finito e que seu maior elemento é [;P_n;]

Então $[;(P_1)^{k_1}\times(P_2)^{k_1} \cdots \times (P_n)^{k_n};]$ é um múltiplo de todos os números primos existentes.

Então $[;(P_1)^{k_1}\times (P_2)^{k_1}\cdots \times (P_n)^{k_n} + 1;]$ não é múltiplo de nenhum outro primo, ou seja,

$[;(P_1)^{k_1}\times(P_2)^{k_1} \cdots \times (P_n)^{k_n} + 1;]$ não pode ser fatorado como um produto de fatores primos já existentes.
Ou seja, $[;(P_1)^{k_1}\times(P_2)^{k_1} \cdots \times (P_n)^{k_n} + 1;]$ tem um múltiplo primo maior do que [;P_n;]

ou $[;(P_1)^{k_1}\times(P_2)^{k_1} \cdots \times (P_n)^{k_n} + 1;]$ é primo.

ABSURDO,pois contradiz a existência de um [;P_n;]

máximo. Logo, o conjunto dos números primos é infinito.

C.Q.D.

E.3- Prove que todo número primo maior que [;2;]

pode ser escrito de maneira única como a diferença entre 2 quadrados.

Inicialmente temos [;(n+1)^2-n^2=2n+1;]

. $[;n \in \mathbb{N};]$

Com isso mostrei que posso escrever qualquer número ímpar como a diferença entre os quadrados de dois números consecutivos. E isso é quase toda a demonstração, pois todo número primo maior que [;2;]

é ímpar.

Basta apenas provar que essa representação é única.

Vamos supor por absurdo que essa representação não seja única, então existe um [;k;]

natural maior que [;1;]

que satisfaz:

Onde

é um número primo e [;n;]

é um número natural.

Porém:

[;(n+k)^2-(n)^2=n^2+2nk+k^2-n^2=2 nk+k^2= k(2n+k)=p;]

Ou seja,

é um múltiplo de [;k;]

,porém p é primo, então [;k=1;]

Absurdo, pois contradiz [;k>1;]

não satisfaz [;k(2n+k)=p;]

para todo n natural.

C.Q.D.

Bem, por hoje fico por aqui, fique atento aqui no blog, pois brevemente teremos mais postagens.

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