Matemática
Seja o seguinte triângulo eqüilátero, aonde se fazem seguidas iterações, construindo novos triângulos, cujos lados depois desta iteração valem um terço do lado anterior.![Curva Van Koch (GIF)[3]](matematica/matematica-5631ca6f17ca9.gif?imgmax=800 "Curva Van Koch (GIF)[3]")
Nesse triângulo fractal que obtemos, vamos demonstrar uma fórmula para sua área quando o número de iterações chega próximo ao infinito
Como cada triangulo tem o lado do anterior dividido por 3 para formar o lado dos tri}ângulos da iteração seguinte, e a área do triângulo eqüilátero é igual a
Temos que a área da unidade de cada triângulo, ou seja, de cada um dos triângulos resultantes após a iteração é dada por
Sendo
o lado do triângulo anterior. Já que todo lado é seu anterior dividido por um terço, analisemos:
O lado depois de uma iteração vale
Depois de duas iterações, fica
Depois de três, temos
Ou seja, podemos deduzir que depois de n iterações teremos
Substituindo na fórmula em (1), temos
Sendo
Temos
Mas essa fórmula só nos dá a área de um dos triângulos depois da iteração, e não de todos. Para achar a área de todos os triângulos daquela iteração, multiplicamos a fórmula da área pelo número de triângulos. Analisemos o número de triângulos: depois de uma iteração, temos 3 triângulos. A partir daí, cada triângulo de iteração ?gera? quatro outros triângulos. Podemos deduzir, então, que o número de triângulos em cada iteração é de
Sendo n o número de iterações. A área somada dos triângulos daquela iteração é, então
Achamos, então, a área de um grupo dos triângulos em certa iteração, para n diferente de zero, pois quando n é igual a zero, a área diverge do valor que deveríamos obter. Para acharmos a soma de todos os triângulos em todas as iterações, temos
Para simplificarmos, fazemos
Obtemos, então
Depois dessa redução, vemos que essa expressão é a de uma soma dos termos de uma progressão geométrica de razão dois nonos. Agora, apenas aplicaremos a fórmula da soma dos termos de uma P.G. e um pouco da noção de limites. Esta fórmula diz que
Quando q é menor que 1 e n tende ao infinito, temos
Pois, como q é menor que 1, quando ele é potenciado um número grande de vezes ele acaba próximo de 0. Na nossa expressão, logo vemos que o termo inicial é
Agora, aplicando a fórmula para reduzir a expressão, obtemos
Somando ao termo em que o número de iterações é igual a zero (A), temos que a fórmula para a área total é
E essa é a área do floco de neve de Koch.
- O Floco De Neve Koch
"Niels Fabian Helge Van Koch foi um matemático sueco que deu o seu nome ao famoso fractal conhecido como Floco de Neve Koch, que foi um dos primeiros fractais de curvas a se descrito." (Wikipédia) Se você quiser saber um pouco mais sobre...
- Hexágono
Hexágono é uma figura plana que possui 6 lados, sendo regular esses lados deverão ser todos iguais (mesma medida), portanto, hexágono regular é uma figura plana que possui 6 lados com a mesma medida. O hexágono regular circunscrito numa circunferência...
- Área Do Hexágono Regular
Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro BarrosoColégio Estadual Dinah Gonçalvesemail [email protected] www.ensinodematemtica.blogspot.com.brwww.accbarrosogestar.blogspot.com.br WWW.profantoniocarneiro.com ...
- Área Do Triângulo Equilátero
A área de um triângulo pode ser determinada através da aplicação da seguinte fórmula: Para aplicá-la é preciso ter o valor da base e da altura de um triângulo, sendo assim, uma fórmula de fácil utilização quando o triângulo for retângulo....
- Área De Um Polígono Regular
Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência. Ao decompormos esse polígono notamos várias regiões triangulares, então se o polígono for decomposto em n triângulos basta calcularmos sua área e multiplicarmos pelo número de triângulos....
Matemática
A Área Do floco de neve de Von Koch
Seja o seguinte triângulo eqüilátero, aonde se fazem seguidas iterações, construindo novos triângulos, cujos lados depois desta iteração valem um terço do lado anterior.
Nesse triângulo fractal que obtemos, vamos demonstrar uma fórmula para sua área quando o número de iterações chega próximo ao infinito
Como cada triangulo tem o lado do anterior dividido por 3 para formar o lado dos tri}ângulos da iteração seguinte, e a área do triângulo eqüilátero é igual a
Temos que a área da unidade de cada triângulo, ou seja, de cada um dos triângulos resultantes após a iteração é dada por
Sendo
o lado do triângulo anterior. Já que todo lado é seu anterior dividido por um terço, analisemos: O lado depois de uma iteração vale
Depois de duas iterações, fica
Depois de três, temos
Ou seja, podemos deduzir que depois de n iterações teremos
Substituindo na fórmula em (1), temos
Sendo
Temos
Mas essa fórmula só nos dá a área de um dos triângulos depois da iteração, e não de todos. Para achar a área de todos os triângulos daquela iteração, multiplicamos a fórmula da área pelo número de triângulos. Analisemos o número de triângulos: depois de uma iteração, temos 3 triângulos. A partir daí, cada triângulo de iteração ?gera? quatro outros triângulos. Podemos deduzir, então, que o número de triângulos em cada iteração é de
Sendo n o número de iterações. A área somada dos triângulos daquela iteração é, então
Achamos, então, a área de um grupo dos triângulos em certa iteração, para n diferente de zero, pois quando n é igual a zero, a área diverge do valor que deveríamos obter. Para acharmos a soma de todos os triângulos em todas as iterações, temos
Para simplificarmos, fazemos
Obtemos, então
Depois dessa redução, vemos que essa expressão é a de uma soma dos termos de uma progressão geométrica de razão dois nonos. Agora, apenas aplicaremos a fórmula da soma dos termos de uma P.G. e um pouco da noção de limites. Esta fórmula diz que
Quando q é menor que 1 e n tende ao infinito, temos
Pois, como q é menor que 1, quando ele é potenciado um número grande de vezes ele acaba próximo de 0. Na nossa expressão, logo vemos que o termo inicial é
Agora, aplicando a fórmula para reduzir a expressão, obtemos
Somando ao termo em que o número de iterações é igual a zero (A), temos que a fórmula para a área total é
E essa é a área do floco de neve de Koch.
- O Floco De Neve Koch
"Niels Fabian Helge Van Koch foi um matemático sueco que deu o seu nome ao famoso fractal conhecido como Floco de Neve Koch, que foi um dos primeiros fractais de curvas a se descrito." (Wikipédia) Se você quiser saber um pouco mais sobre...
- Hexágono
Hexágono é uma figura plana que possui 6 lados, sendo regular esses lados deverão ser todos iguais (mesma medida), portanto, hexágono regular é uma figura plana que possui 6 lados com a mesma medida. O hexágono regular circunscrito numa circunferência...
- Área Do Hexágono Regular
Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro BarrosoColégio Estadual Dinah Gonçalvesemail [email protected] www.ensinodematemtica.blogspot.com.brwww.accbarrosogestar.blogspot.com.br WWW.profantoniocarneiro.com ...
- Área Do Triângulo Equilátero
A área de um triângulo pode ser determinada através da aplicação da seguinte fórmula: Para aplicá-la é preciso ter o valor da base e da altura de um triângulo, sendo assim, uma fórmula de fácil utilização quando o triângulo for retângulo....
- Área De Um Polígono Regular
Todo polígono regular pode ser inscrito em uma circunferência. Ao decompormos esse polígono notamos várias regiões triangulares, então se o polígono for decomposto em n triângulos basta calcularmos sua área e multiplicarmos pelo número de triângulos....