Matemática

O Floco de Neve Koch

"Niels Fabian Helge Van Koch foi um matemático sueco que deu o seu nome ao famoso fractal conhecido como Floco de Neve Koch, que foi um dos primeiros fractais de curvas a se descrito." (Wikipédia)

Se você quiser saber um pouco mais sobre a Geometria Fractal o blog Fatos Matemáticos possui uma postagem sobre esse assunto: Um Convite à Geometria Fractal. Lá você descobrirá alguns fatos interessantes sobre essa curva, como por exemplo que a dimensão dessa curva é igual à $[;d=\frac{log4}{log3}\approx 1,2618;]$ .

O objetivo desse post é mostrar mais um aparente paradoxo da matemática.(para quem perdeu o primeiro paradoxo basta clicar Aqui - Trombeta de Gabriel).

O Paradoxo que existe é que o Floco de Neve Koch (ou Estrela de Koch) possui uma área finita, porém seu perímetro é infinito. Posteriormente ilustrarei melhor esse fato.

Começaremos construindo O Floco de Neve Koch.

Para construir o floco de neve de Koch iniciamos com um triângulo equilátero de lado $[;\ell;]$ , e seguimos os seguintes passos:

1. Divida cada lado $[;\ell;]$ em três segmentos iguais ( $[;\ell/3;]$ );
2. Desenhe um triângulo equilátero tendo como base o segmento central da divisão do lado do passo 1. (geramos nessa primeira interação três novo triângulos);
3. Remova a base utilizada para construir os triângulos do passo 2.

O floco de neve Koch irá surgir à medida que os passos acima são repetidos infinitamente.
Obs: Quando tomamos um segmento, ao invés de um triângulo equilátero, e executamos os passos acima temos o que chamamos de Curva de Koch, assim o Floco de Neve Koch nada mais é do que a união de três curvas de Koch.

Como mencionamos anteriormente, o floco de neve Koch possui um perímetro infinito e uma área finita. Vejamos cada caso separadamente:

- Perímetro do Floco de Neve Koch:

A tabela acima representa as [;N;]

interações da curva de Koch, note que inicialmente temos um segmento de tamanho $[;\ell;]$ , no próximo passo temos [;4;]

segmentos de tamanho $[;\ell/3;]$ , totalizando $[;4\frac{\ell}{3};]$ . Após [;n;]

interações teremos [;4^n;]

segmentos de $[;\frac{\ell}{3^n};]$ cada, totalizando $[;\left(\frac{4}{3}\right)^n\ell;]$ .

Assim, note que o valor dos segmentos tende à zero, porém o comprimento total da curva de Koch diverge, note que as interações representam os termos de uma P.G. de razão $[;\frac{4}{3};]$ , como a razão dessa P.G. é maior que [;1;]

, então o termo geral tende ao inifinito.

Portanto, na construção do Floco de Neve Koch teremos a mesma coisa ocorrendo.
Tomamos um triàngulo equilátero de lado $[;\ell;]$ , assim seu perímetro é igual à $[;P_0=3\ell;]$ .
Na primeira interação teremos uma figura com [;12;]

segmentos iguais à $[;\ell/3;]$ , e o perímetro dessa figura será igual à $[;P_1=3\cdot 4\frac{\ell}{3}=4\ell;]$ .
Na n-ésima interação teremos uma figura com $[;3\cdot 4^n;]$ segmentos iguais à $[;\frac{\ell}{3^n};]$ , essa figura tem um perímetro igual à $[;P_n=3\ell\left(\frac{4}{3}\right)^n;]$ .

Como o floco de neve Koch é obtido quando fazemos essas interações infinitamente, temos que o seu perímetro será o limite de [;P_n;]

quando $[;n\to\infty;]$ .

$[;P_{Koch}=\lim_{n\to\infty}3\ell\left(\frac{4}{3}\right)^n=\infty;]$

Logo, o perímetro do Floco de Neve Koch é INFINITO.

Vejamos o que ocorre com sua área;

-Área do Floco de Neve Koch:

Considere inicialmente que o triângulo equilátero tem lado $[;\ell;]$ , assim sua área é igual a $[;\frac{\ell^2\sqrt{3}}{4};]$ . Na primeira interação, temos que o lado de cada pequeno triângulo é igual à $[;\ell/3;]$ , assim cada pequeno triângulo tem uma área igual à $[;\frac{(\ell/3)^2\sqrt{3}}{4};]$ , ou seja, $[;\frac{1}{9}\cdot\frac{\ell^2\sqrt{3}}{4};]$ , assim a área desse pequeno triângulo é [;1/9;]

da área do anterior. Após [;n;]

interações a área do triângulo será $[;\frac{1}{9^n};]$ do anterior.

Após cada interação depois da primeira acrescentamos [;4;]

vezes a quantidade da interação anterior, como na primeira interação adicionamos [;3;]

triângulos teremos que na n-ésima interação adicionaremos $[;3\cdot 4^{n-1};]$ triângulos.

Combinando essas duas informações temos que a área da figura após [;n+1;]

interações será dada por:

$[;A_{n+1}=A_n+\frac{3\cdot 4^{n-1}}{9^n}A_0,\quad n\geq 1;]$

A fórmula acima nos diz que a área é igual à área da interação anterior mais uma certa quantidade de triângulos menores expresso pela segunda parcela à direita da igualdade.

Definimos

como sendo a área do triângulo equilátero inicial e $[;A_1=\frac{4}{3}A_0;]$ .

Podemos expressar a fórmula de recurssão como a seguinte soma:

$[;A_{n+1}=\frac{4}{3}A_0+\sum_{k=2}^n\frac{3\cdot 4^{k-1}}{9^k}A_0;]$

Assim,

$[;A_{n+1}=\left(\frac{4}{3}+\frac{1}{3}\sum_{k=2}^n3\frac{3\cdot 4^{k-1}}{9^k}\right)A_0=\left(\frac{4}{3}+\frac{1}{3}\sum_{k=2}^n\frac{9\cdot 4^{k-1}}{9^k}\right)A_0;]$

$[;A_{n+1}=\left(\frac{4}{3}+\frac{1}{3}\sum_{k=1}^n\frac{4^k}{9^k}\right)A_0;]$

Assim, a área do Floco de Neve Koch será o limite de $[;A_{n+1};]$ quando $[;n\to\infty;]$ , logo:

$[;A_{Koch}=\lim_{n\to\infty}A_{n+1}=\left(\frac{4}{3}+\frac{1}{3}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4^k}{9^k}\right)A_0;]$

Note que o seguinte somatório é a soma dos infinitos termos sde um P.G. de razão [;|q|<1;]

, de fato $[;q=\frac{4}{9}<1;]$ :

$[;\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4^k}{9^k}=\frac{4}{9}+\frac{4^2}{9^2}+\cdots=\frac{4/9}{1-4/9};]$

Assim,

$[;\sum_{k=1}^{\infty}\frac{4^k}{9^k}=\frac{4}{5};]$

Portanto,

$[;A_{Koch}=\left(\frac{4}{3}+\frac{1}{3}\cdot\frac{4}{5}\right)A_0=\frac{8}{5}A_0;]$

Lembre que $[;A_0=\frac{\ell^2\sqrt{3}}{4};]$ , portanto:

$[;A_{Koch}=\frac{2\ell^2\sqrt{3}}{5};]$

Deste modo, o Floco de Neve Koch possui uma área finita.

-Analogia:

Para entender melhor o que acontece com o Floco de Neve Koch suponha que possamos construir uma cerca com o formato dessa figura, assim conseguiríamos cercar uma área que está bem definida, porém se começarmos a andar pela "cerca" nunca conseguiríamos retornar ao ponto de partida.

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