A infinita curva floco de neve

Recentemente participei de um seminário sobre "A beleza nas matemáticas". A certa altura, citei uma frase do célebre lógico inglês Bertrand Russell: "O verdadeiro espírito de alegria, de exaltação, o sentimento de ser mais que um homem, que são a pedra de toque da excelência mais elevada, se encontram nas matemáticas como na poesia". Então, fui interrompido por uma jovem professora que perguntava como era possível enxergar de forma tão lírica uma ciência cuja iniciação, literalmente, inferniza a vida da grande maioria dos jovens secundaristas.
Respondi que para se estudar uma ciência era preciso alguma inteligência, mas para transmiti-la com prazer e usá-la com eficiência e alegria era necessário sabedoria. Assim, eu esperava reforçar a idéia que aparece com certa freqüência nesta coluna: as dificuldades não estão na Matemática nem nos que a fabricam, mas em alguns que a difundem. A rigor, nem tudo são flores no jardim da Matemática e um exemplo são as chamadas curvas patológicas. Antes, porém, vejamos como se comporta uma curva normal: a circunferência será tratada como o limite de uma seqüência de polígonos assim. Dessa forma, a circunferência é o limite para o qual tendem os perímetros dos polígonos C¹ (triângulo), C2 (hexágono), C3 (do decágono) etc, que são cada vez maiores, mas limitados pelo comprimento da circunferência, que é 2 x tt x r (r, a medida do raio).
Iniciemos então a curva patológica também com um triângulo equilátero, o FN1
. Vamos dividir cada lado em três partes iguais.
. Na terça parte do meio de cada lado construamos um novo triângulo eqüilátero apontado para fora.
. Apaguemos as partes comuns no antigo e nos novos triângulos.
Esta nova curva (poligonal) estrelada será chamada FN2. . Vamos dividir em três partes iguais cada lado da curva FN2 e, novamente, construir um triângulo eqüilátero apontando para fora, no terço médio de cada lado. Apagamos as partes comuns às figuras antiga e nova e obtemos uma nova curva, a FN3.
Ao repetirmos o processo na FN3 para obtermos FN4 e assim por diante (FN5, FN6 etc.), as curvas, em seus sucessivos estágios, tomam a forma que recebeu o nome de floco de neve. Na curva normal, os polígonos têm seus perímetros aumentados a cada -nova construção, mas o limite é dado pela circunferência. Já a curva floco de neve possui uma propriedade surpreendente: se o lado do primeiro triângulo (FN¹) tiver uma unidade, seu perímetro será 3 unidades; o perímetro da FN2 será 4 unidades ou 3+1; o da FN3 será 3+1+4/3 Com um cálculo simples encontramos para o perímetro da FN4 o valor 3+1+4/3+4²/3² unidades. Prosseguindo, veremos que para FNn uma boa expressão será:
3+1+4/3+4²/3²+4³/3³+-+4(n-2)/3(n-2)
A cada nova construção o perímetro fica maior em mais que uma unidade, isto é: a soma dos termos de progressão geométrica de razão 4/3. Essa é uma das patologias da curva. A soma que representa seu perímetro fica tão grande quanto se queira, é infinita. A área cresce, mas a soma que a representa é finita: é o limite de uma série convergente. Eis aí uma curva simples de comprimento infinito limitando uma área finita. A série que representa a área limitada pela floco de neve converge para um valor que é 8/5 da área do triângulo inicial (FN¹), ou 1,6 vezes a área desse triângulo.
A outra patologia da floco de neve é que é impossível dizer em qualquer dos seus pontos que direção tomará. Não se pode encontrar uma tangente a ela. E se alguém tentar fazer essas mesmas construções mas com o triângulo desenhado apontado para dentro do anterior chegará a outra curva patológica: a antifloco de neve.

Fonte: http://super.abril.com.br