Matemática
O volume de comentários relativos ao artigo recentemente publicado em Scientific American Brasil sobre as universidades federais tem crescido muito, não apenas neste blog, mas em mensagens do facebook, e-mails e conversas pessoais. Enquanto eu for capaz de acompanhar tais discussões, tentarei responder a todos. O presente texto trata de um dos assuntos mencionados no artigo e que mais gera confusões entre alunos e professores universitários: cálculo diferencial e integral.
Eu já havia postado algumas considerações sobre esta fundamental disciplina estudada em cursos de matemática, física, química, ciências biológicas, economia, engenharias, entre outros. No entanto, está mais do que claro que o assunto está longe de ser esgotado.
Faço a seguir quatro esclarecimentos muito breves sobre cálculo diferencial e integral (que podemos chamar abreviadamente de cálculo). Há muitos erros cometidos em sala de aula e promovidos principalmente por professores.
1) Objetivos do estudo de cálculo diferencial e integral. Os objetivos do estudo de cálculo dependem dos propósitos pessoais ou profissionais de quem estuda esta matéria. Se o estudante tiver uma índole mais matemática, a meta final é a compreensão e o domínio de equações diferenciais. Se o estudante estiver mais interessado em aplicações, o objetivo é o emprego de equações diferenciais para modelar fenômenos do mundo real que envolvem noções intuitivas de taxas de variação. Ou seja, de uma forma ou de outra o cálculo não é uma meta em si, mas um ponto de partida no estudo ou aplicações de equações diferenciais. Estudar cálculo sem um estudo posterior sobre equações diferenciais é uma postura que simplesmente não faz sentido. Usualmente o cálculo se fundamenta em dois conceitos importantes: derivação e integração. No estudo de cálculo de funções reais de uma variável real, uma derivada de uma função em um ponto é, intuitivamente falando, uma taxa de variação. Essa taxa de variação pode ser empregada para modelar localmente um fenômeno físico. Em seguida, através do processo de integração, é possível resgatar o comportamento global (em um domínio estabelecido) do sistema modelado. O teorema fundamental do cálculo, uma das mais importantes conquistas da história da ciência, permite estabelecer a surpreendente e íntima relação entre derivadas e integrais. Cito um exemplo simples. Considere o decaimento radioativo de uma substância ou elemento qualquer. Empregando derivadas é possível modelar este sistema físico da seguinte forma: a taxa de decaimento do material radioativo é diretamente proporcional à massa deste material. Em outras palavras, quanto maior a massa, maior o decaimento. Esta modelagem remete a uma equação diferencial que, graças ao teorema fundamental do cálculo, pode ser resolvida via integração. A solução de tal equação diferencial é uma função que permite prever quanta massa restará do material radioativo em (praticamente) qualquer intervalo de tempo que se queira.
2) O conceito de cálculo diferencial e integral. Sempre suspeite do uso de artigo definido em matemática! Não existe o cálculo. Existe sim uma miríade de cálculos. No cálculo usualmente lecionado nas graduações brasileiras são definidas derivadas e integrais como casos particulares de limites de certas funções. Mas esta não é a única forma de estudar cálculo. Em análise não standard, por exemplo, uma derivada é uma razão entre infinitésimos. Ou seja, não se define derivada como um caso particular de limite. Em teoria da medida (outro exemplo) é muito comum o emprego de integrais de Lebesgue, conceito muito diferente de integral de Riemann, normalmente estudada nas graduações brasileiras. Certas funções que podem ser integradas por Lebesgue não podem ser integradas por Riemann. Além disso, existem outros conceitos de integração na literatura: Haar, Kurzweil, Henstock-Kurzweil, entre muitos outros. A escolha sobre o estudo específico de um tipo especial de cálculo novamente depende dos propósitos do estudante ou do pesquisador. Por isso o contato com pesquisadores experientes é importante. Cabe a pesquisadores a orientação dos mais jovens, conforme seus interesses de aplicações e pesquisas.
3) Infinito. Um dos conceitos menos compreendidos por alunos e até mesmo professores de matemática neste país é a noção de infinito. Já vi até mesmo pesquisadores experientes (fora do Brasil) afirmarem, por exemplo, que cinco dividido por infinito é zero, ou que cinco dividido por zero é infinito. Este é um erro simplesmente grotesco. Infinito não é número! Além disso, não existe em matemática o conceito de infinito. Existem sim os seguintes conceitos: conjunto infinito, limite infinito, limite no infinito, cardinalidade transfinita, infinitesimal, entre outros. Cada um desses conceitos deve ser estabelecido em seu devido contexto. Considere, por exemplo, a função f(x) = 5/x, definida sobre o domínio de todos os números reais, exceto o zero. O limite desta função f(x) com x tendendo ao infinito é zero. O que isso significa? Significa simplesmente que para qualquer épsilon real estritamente positivo existe um delta real estritamente positivo tal que se x for maior do que delta, então o valor absoluto de f(x) é menor do que o épsilon dado. Observe que, quando se explica o significado do limite, jamais há menção alguma a qualquer noção de infinito. Quando o matemático escreve que um dado limite é igual a infinito, está cometendo um abuso de notação. Isso porque a igualdade, neste contexto, é uma relação definida para números reais. E infinito não é um número real. Não se pode estudar matemática quando estudantes e professores confundem conceito com notação.
4) Infinitésimo. Este é outro conceito irresponsavelmente difundido por professores desta nação. Infinitésimo, por definição, é um número estritamente positivo (maior do que zero), porém menor do que qualquer número real estritamente positivo. Portanto, infinitésimo não é um número real! É bem sabido que números complexos estendem números reais, no sentido de que todo número real pode ser considerado com um caso particular de número complexo. No entanto, existem outras extensões dos números reais, como os números hiperreais. Infinitésimos são casos particulares de números hiperreais que não são reais. E números reais também podem ser considerados como casos particulares de números hiperreais. O estudo dos hiperreais faz parte de um ramo da lógica matemática conhecido como análise não standard, que corresponde a um tipo muito específico de cálculo diferencial e integral. Na análise não standard uma derivada é a parte standard de uma razão entre infinitésimos. Essa parte standard corresponde a um número real. Quando um físico, em suas contas, considera um infinitesimal de massa dm, só vejo duas possibilidades: (i) ele conhece muito bem análise não standard e, portanto, deve saber o que está fazendo ou (ii) ele conhece apenas cálculo diferencial e integral padrão e não tem a mínima ideia sobre o que está fazendo. Do ponto de vista didático, geralmente os discursos sobre infinitésimos podem ser substituídos por discursos envolvendo diferenciais, este sim um conceito usual do cálculo padrão.
O leitor não deve se iludir com a possibilidade de compreender bem cálculo diferencial e integral a partir dessas breves observações. Meu propósito aqui é apenas alertar que, muito frequentemente, há algo de podre nas aulas de graduação em que professores aplicam e até ensinam o cálculo.
Quem se limita a estudar apenas aquilo que é pregado em sala de aula está inevitavelmente fadado à ignorância.
- Pré-cálculo Em Vídeo
A disciplina que mais vezes lecionei até hoje foi cálculo diferencial e integral. E demorei anos para finalmente entender de forma qualificada uma das maiores dificuldades encontradas pelos alunos: linguagem. Admito que sou tão lento para entender...
- Cálculo Diferencial E Integral Em Vídeo
Segue abaixo uma breve análise sobre alguns vídeos de ensino a distância disponibilizados no YouTube. O foco aqui é, naturalmente, matemática, com especial ênfase em cálculo diferencial e integral. Eu já havia feito anteriormente uma discussão...
- A Integral Como Antiderivada
Na matemática aplicada ocorre frequentemente conhecermos a derivada de uma função e termos que encontrar a própria função. Por exemplo, podemos conhecer a velocidade $dx/dt$ de uma partícula e precisamos encontrar a equação do movimento $x=f(t)$,...
- Os Mitos Leibnizianos A Respeito Das Curvas Diferenciais
O conceito moderno de limites não aparece até o começo do século $XIX$ e, assim, nenhuma definição de derivada parecida com $\displaystyle f^\prime(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ era possível para Leibniz ou seus sucessores...
- A Contradição Infinitesimal
Retornando às origens do cálculo infinitesimal, da relação $y=x^2$ entre variáveis, deseja-se calcular o acréscimo $dy$ da variável $y$ quando $x$ sofre uma alteração infinitamente pequena $dx$. Calcula-se então: $$y+dy=(x+dx)^2$$ Ou seja: ...
Matemática
Alguns esclarecimentos sobre cálculo diferencial e integral
O volume de comentários relativos ao artigo recentemente publicado em Scientific American Brasil sobre as universidades federais tem crescido muito, não apenas neste blog, mas em mensagens do facebook, e-mails e conversas pessoais. Enquanto eu for capaz de acompanhar tais discussões, tentarei responder a todos. O presente texto trata de um dos assuntos mencionados no artigo e que mais gera confusões entre alunos e professores universitários: cálculo diferencial e integral.
Eu já havia postado algumas considerações sobre esta fundamental disciplina estudada em cursos de matemática, física, química, ciências biológicas, economia, engenharias, entre outros. No entanto, está mais do que claro que o assunto está longe de ser esgotado.
Faço a seguir quatro esclarecimentos muito breves sobre cálculo diferencial e integral (que podemos chamar abreviadamente de cálculo). Há muitos erros cometidos em sala de aula e promovidos principalmente por professores.
1) Objetivos do estudo de cálculo diferencial e integral. Os objetivos do estudo de cálculo dependem dos propósitos pessoais ou profissionais de quem estuda esta matéria. Se o estudante tiver uma índole mais matemática, a meta final é a compreensão e o domínio de equações diferenciais. Se o estudante estiver mais interessado em aplicações, o objetivo é o emprego de equações diferenciais para modelar fenômenos do mundo real que envolvem noções intuitivas de taxas de variação. Ou seja, de uma forma ou de outra o cálculo não é uma meta em si, mas um ponto de partida no estudo ou aplicações de equações diferenciais. Estudar cálculo sem um estudo posterior sobre equações diferenciais é uma postura que simplesmente não faz sentido. Usualmente o cálculo se fundamenta em dois conceitos importantes: derivação e integração. No estudo de cálculo de funções reais de uma variável real, uma derivada de uma função em um ponto é, intuitivamente falando, uma taxa de variação. Essa taxa de variação pode ser empregada para modelar localmente um fenômeno físico. Em seguida, através do processo de integração, é possível resgatar o comportamento global (em um domínio estabelecido) do sistema modelado. O teorema fundamental do cálculo, uma das mais importantes conquistas da história da ciência, permite estabelecer a surpreendente e íntima relação entre derivadas e integrais. Cito um exemplo simples. Considere o decaimento radioativo de uma substância ou elemento qualquer. Empregando derivadas é possível modelar este sistema físico da seguinte forma: a taxa de decaimento do material radioativo é diretamente proporcional à massa deste material. Em outras palavras, quanto maior a massa, maior o decaimento. Esta modelagem remete a uma equação diferencial que, graças ao teorema fundamental do cálculo, pode ser resolvida via integração. A solução de tal equação diferencial é uma função que permite prever quanta massa restará do material radioativo em (praticamente) qualquer intervalo de tempo que se queira.
2) O conceito de cálculo diferencial e integral. Sempre suspeite do uso de artigo definido em matemática! Não existe o cálculo. Existe sim uma miríade de cálculos. No cálculo usualmente lecionado nas graduações brasileiras são definidas derivadas e integrais como casos particulares de limites de certas funções. Mas esta não é a única forma de estudar cálculo. Em análise não standard, por exemplo, uma derivada é uma razão entre infinitésimos. Ou seja, não se define derivada como um caso particular de limite. Em teoria da medida (outro exemplo) é muito comum o emprego de integrais de Lebesgue, conceito muito diferente de integral de Riemann, normalmente estudada nas graduações brasileiras. Certas funções que podem ser integradas por Lebesgue não podem ser integradas por Riemann. Além disso, existem outros conceitos de integração na literatura: Haar, Kurzweil, Henstock-Kurzweil, entre muitos outros. A escolha sobre o estudo específico de um tipo especial de cálculo novamente depende dos propósitos do estudante ou do pesquisador. Por isso o contato com pesquisadores experientes é importante. Cabe a pesquisadores a orientação dos mais jovens, conforme seus interesses de aplicações e pesquisas.
3) Infinito. Um dos conceitos menos compreendidos por alunos e até mesmo professores de matemática neste país é a noção de infinito. Já vi até mesmo pesquisadores experientes (fora do Brasil) afirmarem, por exemplo, que cinco dividido por infinito é zero, ou que cinco dividido por zero é infinito. Este é um erro simplesmente grotesco. Infinito não é número! Além disso, não existe em matemática o conceito de infinito. Existem sim os seguintes conceitos: conjunto infinito, limite infinito, limite no infinito, cardinalidade transfinita, infinitesimal, entre outros. Cada um desses conceitos deve ser estabelecido em seu devido contexto. Considere, por exemplo, a função f(x) = 5/x, definida sobre o domínio de todos os números reais, exceto o zero. O limite desta função f(x) com x tendendo ao infinito é zero. O que isso significa? Significa simplesmente que para qualquer épsilon real estritamente positivo existe um delta real estritamente positivo tal que se x for maior do que delta, então o valor absoluto de f(x) é menor do que o épsilon dado. Observe que, quando se explica o significado do limite, jamais há menção alguma a qualquer noção de infinito. Quando o matemático escreve que um dado limite é igual a infinito, está cometendo um abuso de notação. Isso porque a igualdade, neste contexto, é uma relação definida para números reais. E infinito não é um número real. Não se pode estudar matemática quando estudantes e professores confundem conceito com notação.
4) Infinitésimo. Este é outro conceito irresponsavelmente difundido por professores desta nação. Infinitésimo, por definição, é um número estritamente positivo (maior do que zero), porém menor do que qualquer número real estritamente positivo. Portanto, infinitésimo não é um número real! É bem sabido que números complexos estendem números reais, no sentido de que todo número real pode ser considerado com um caso particular de número complexo. No entanto, existem outras extensões dos números reais, como os números hiperreais. Infinitésimos são casos particulares de números hiperreais que não são reais. E números reais também podem ser considerados como casos particulares de números hiperreais. O estudo dos hiperreais faz parte de um ramo da lógica matemática conhecido como análise não standard, que corresponde a um tipo muito específico de cálculo diferencial e integral. Na análise não standard uma derivada é a parte standard de uma razão entre infinitésimos. Essa parte standard corresponde a um número real. Quando um físico, em suas contas, considera um infinitesimal de massa dm, só vejo duas possibilidades: (i) ele conhece muito bem análise não standard e, portanto, deve saber o que está fazendo ou (ii) ele conhece apenas cálculo diferencial e integral padrão e não tem a mínima ideia sobre o que está fazendo. Do ponto de vista didático, geralmente os discursos sobre infinitésimos podem ser substituídos por discursos envolvendo diferenciais, este sim um conceito usual do cálculo padrão.
O leitor não deve se iludir com a possibilidade de compreender bem cálculo diferencial e integral a partir dessas breves observações. Meu propósito aqui é apenas alertar que, muito frequentemente, há algo de podre nas aulas de graduação em que professores aplicam e até ensinam o cálculo.
Quem se limita a estudar apenas aquilo que é pregado em sala de aula está inevitavelmente fadado à ignorância.
- Pré-cálculo Em Vídeo
A disciplina que mais vezes lecionei até hoje foi cálculo diferencial e integral. E demorei anos para finalmente entender de forma qualificada uma das maiores dificuldades encontradas pelos alunos: linguagem. Admito que sou tão lento para entender...
- Cálculo Diferencial E Integral Em Vídeo
Segue abaixo uma breve análise sobre alguns vídeos de ensino a distância disponibilizados no YouTube. O foco aqui é, naturalmente, matemática, com especial ênfase em cálculo diferencial e integral. Eu já havia feito anteriormente uma discussão...
- A Integral Como Antiderivada
Na matemática aplicada ocorre frequentemente conhecermos a derivada de uma função e termos que encontrar a própria função. Por exemplo, podemos conhecer a velocidade $dx/dt$ de uma partícula e precisamos encontrar a equação do movimento $x=f(t)$,...
- Os Mitos Leibnizianos A Respeito Das Curvas Diferenciais
O conceito moderno de limites não aparece até o começo do século $XIX$ e, assim, nenhuma definição de derivada parecida com $\displaystyle f^\prime(x)=\lim_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ era possível para Leibniz ou seus sucessores...
- A Contradição Infinitesimal
Retornando às origens do cálculo infinitesimal, da relação $y=x^2$ entre variáveis, deseja-se calcular o acréscimo $dy$ da variável $y$ quando $x$ sofre uma alteração infinitamente pequena $dx$. Calcula-se então: $$y+dy=(x+dx)^2$$ Ou seja: ...