Matemática

Análise Funcional - Parte III: Introdução aos Espaços de Hilbert

Hoje vamos falar um pouco da imensa teoria existente sobre espaços de Hilbert. Quando se fala em Análise Funcional, talvez este seja o caso particular mais interessante de um Espaço de Banach, pois, além de obtermos informações sobre operadores e funcionais, o nosso produto interno nos dá bastante informação sobre a geometria do nosso espaço.

Mais especificamente, obtemos a unicidade da projeção sobre um compacto. Se M é o subespaço fechado do nosso espaço H, então vamos obter que os espaços de Hilbert possuem propriedades análogas às de um espaço de dimensão finita. Provaremos também dois teoremas muito importantes para a teoria de tais espaços: O Teorema de Representação de Riesz (que dialoga como teorema de Riesz-Markov-Kakutani) e o Teorema de Lax-Milgram. Estes dois últimos serão extremamente úteis na hora de resolver Equações Diferenciais Parciais. Para finalizar, vamos dar exemplos de como utilizar o Teorema de Lax-Milgram e o Teorema de Representação de Riesz para resolver equações diferenciais parciais, bem como propor alguns problemas relacionados à teoria aqui apresentada.

Começamos tentando dar uma intuição do porquê da importância do estudo de Espaços de Hilbert: Vamos primeiro enunciar alguns teoremas e fatos conhecidos e importante para a Álgebra Linear:

1 - "Dado um espaço vetorial de dimensão finita com um produto interno ( , ), então o espaço dos funcionais lineares deste é isomorfo a ele. Mais especificamente, se V é tal espaço, o mapa

É um isomorfismo"

2 - "Se K é um conjunto convexo e fechado contido em

, então, dado f em

, existe um único u em K tal que

Além disto, se K for um subespaço vetorial, então u é caracterizado por < f - u , v > = 0 para todo v em K"

3 - "Todo u em

pode ser expresso na forma

Onde

é uma base ortonormal"

Repare que nenhum desses teoremas têm análogos absolutamente gerais no caso apenas de um espaço de Banach. Na verdade, o primeiro e o ultimo deles nem fazem sentido se não tivermos a noção de produto interno. Por isso que é tão interessante olhar para o produto interno nesse caso: ele nos permite fazer uma conexão com os espaços de dimensão finita.

Se você ainda não se convenceu que os espaços de Hilbert são assim importantes, alguns exemplos de tais espaços devem fazer você mudar de ideia:

Exemplo 0 - (Exemplo Semi-Trivial) O espaço

com o produto interno dado por (se

é a base canônica)

$<v,w>=v_1w_1+\cdots + v_nw_n$

É um espaço de Hilbert. Mais ainda, o espaço

com produto interno dado por

$< v,w > = v_1 \overline{w_1}+\cdots +v_n \overline{w_n}$

Também é um espaço de Hilbert.

Exemplo 1 - O espaço L² (X), onde

é um espaço de medida, é um espaço de Hilbert de acordo com o produto interno dado por

Tal fato é fácil de verificar, e portanto o deixamos ao leitor (Ver Exercício 1).

Exemplo 2 - O espaço l²(N) das sequências de números complexos

É um espaço de Hilbert com o produto interno

(Ver Exercício 2)

Exemplo 3 - O Espaço de Sobolev

das funções f definidas em todo espaço n dimensional com valores complexos tais que f está em L² e sua Transformada de Fourier (Ver Exercício 3) é tal que

$\int_{\mathbb{R}^n} |\hat{f}(\xi)|^2 (1+|\xi|^2)^{s/2}d\xi < \infty$

É um espaço de Hilbert com o produto interno dado por

$(f,g)_{H^s} = \int_{\mathbb{R}^n}\hat{f}(\xi)\overline{\hat{g}(\xi)}(1+|\xi|^2)^{s/2}$

Ok, acabamos de enunciar alguns exemplos do que é um espaço de Hilbert, e talvez você tenha entendido a ideia do porquê é importante. Mas, para os mais atentos, ficou claro que não mencionamos explicitamente em momento algum o que é um espaço de Hilbert.

Portanto, para que os exemplos acima façam sentido, a definição de espaço de Hilbert deve ser a que você já deve imaginar: um espaço H é Hilbert (real) se ele é um espaço vetorial dotado de um produto interno ( , ) tal que este é um espaço de Banach com relação à norma induzida pelo produto interno (ou seja, se |u|² = (u,u) é uma norma que faz do espaço completo). No caso complexo, pediremos que o produto interno seja sesquilinear. A definição será devidamente esclarecida abaixo:

Definição: (a) Um produto interno num espaço vetorial V sobre R é uma função

tal que

(i) $a(v,rw_1 + sw_2) = ra(v,w_1)+s a(v,w_2) \; \forall v,w_1,w_1 \in V, r,s \in \mathbb{R}$

(ii)

para todos w,v em V

(iii)

(b) Um produto interno (sesquilinear) num espaço vetorial V sobre C é uma função

tal que

(i') $a(rv_1+sv_2,w)=ra(v_1,w)+sa(v_2,w) \forall v_1,v_2,w \in V, r,s \in \mathbb{C}$

(ii')

(iii')

O produto no caso complexo é chamado de sesquilinear porque, da definição, este é linear na primeira entrada e conjugado-linear na segunda, ou seja, as somas saem, e a multiplicação por escalares se transforma na multiplicação pelo escalar conjugado.

Esclarecidas as definições, vamos para os primeiros resultados importantes sobre espaços de Hilbert:

Teorema 1: Dado K um convexo fechado num espaço de Hilbert (real) H, então, para cada f em H, existe um único u em K tal que

Tal elemento é caracterizado pela desigualdade de projeção:

Onde ( , ) é o produto interno de H.

Prova: Seja

uma sequência tal que

. Mostraremos que tal sequência é de Cauchy: Uma das mais importantes propriedades do produto interno é a identidade do paralelogramo: Se v,w estão em H, então

$\left|\frac{v-w}{2}\right|^2 + \left|\frac{v+w}{2}\right|^2 = \frac{1}{2}(|v|^2+|w|^2)$

(Veja o Exercício 4). Assim, utilizando tal identidade com

, e usando que $\frac{v_n+v_m}{2}$ está em K para todos m,n (pois K é convexo), então

$|v_n-v_m|^2 = |f-v_n|^2 + |f-v_m|^2 - 2\left|f - \frac{v_n+v_m}{2}\right|^2 \le |f-v_n|^2 + |f-v_m|^2 - 2d^2 \rightarrow 0 \;\;(m,n \rightarrow \infty)$

Logo, existe um v que realiza a distância.

Para mostrar a unicidade, mostremos a equivalência entre u ser minimizante e u satisfazer a desigualdade de projeção.

1 - Se u satisfaz a desigualdade de projeção, então

Que mostra que u é minimizante.

2 - Se u é minimizante, então, como K é convexo,

$|f-u|\le |f-(tw + (1-t)u)|=|f-u - t(w-u)|$

Elevando ao quadrado, obtemos que

$|f-u|^2 \le |f-u|^2 - 2t(f-u,w-u) + t^2|w-u|^2$

Para todo t real, que implica na propriedade desejada.

A unicidade é consequência da desigualdade da projeção, e será deixada como exercício (Ver Exercício 5).

Corolário 2: Se H é um espaço de Hilbert real, e M é um subespaço fechado de H, então, para cada f em H, existe uma única projeção em M, que é caracterizada por

Prova: Use a desigualdade da projeção com tv, onde t varia entre os reais.

Portanto, temos um análogo a espaços de dimensão finita para espaços de Hilbert. Mais adiante vamos utilizar este resultado de maneira mais direta quando estivermos falando de bases ortonormais.

A seguir, caracterizaremos o dual de um espaço de Hilbert H:

Teorema 3: (Representação de Riesz) Dado f elemento de H*, então existe um único v em H tal que

Prova: A unicidade é direta. Considere o subespaço

. Se f não for 0, então M é um subespaço fechado estritamente contido em H. Mas então existe um g em H tal que

Definindo

, então

Que completa a demonstração.

Com respeito a esse Teorema, podemos provar uma generalização muito importante utilizando este.

Teorema 4: (Lax-Milgram) Se

é uma forma bilinear (ou seja, satisfaz a propriedade (i) nas condições para ser um produto interno, mas em cada entrada)

- Contínua: Existe C > 0 tal que |a(u,v)| ? C|u||v| para todos u,v em H

- Coerciva: Existe b > 0 tal que a(u,u) ? b |u|² para todo u em H

Então, para cada f em H*, existe um único u em H tal que f(v) = (u,v).

Prova: Vejamos que, para cada u em H, o funcional linear dado por u(v) = a(u,v), é contínuo. Logo, existe um único elemento Au de H tal que a(u,v) = (Au,v). Vemos, diretamente, que o operador linear A de H em H é contínuo, e |Au| ? b |u|. Portanto, A é injetivo.

Vejamos agora que A(H) é fechado: Se

. Como |Au| ? b |u|, então

Portanto, para provar que A é um isomorfismo de H em H, basta ver que A(H) é denso em H, mas isto é fácil: Se (Au, v) = 0 para todo u em H, então b |v|² ? a(v,v) = (Av,v) = 0. Logo, v =0. Isto implica que A(H) é denso em H, que implica que A(H) = H.

Enfim, se f é elemento de H*, então seja w o elemento de H tal que f(v) = (w,v) para todo v em H. Assim, existe u em H tal que Au = w. Isto implica que f(v) = (Au,v)=a(u,v) para todo v em H, que é o que desejávamos.

Para uma generalização do Teorema de Lax-Milgram, o Teorema de Stampacchia, veja ([1], Teorema 5.6)

-Aplicações às Teorias de Equações Diferenciais Parciais-

Estes dois últimos teoremas são basicamente as ferramentas essenciais para se resolver EDP's elípticas de segunda ordem. Mais especificamente, Seja U um conjunto aberto, limitado, com bordo de classe C¹. Definimos então

Onde dizemos que

existe no sentido fraco se

satisfaz que

Para toda

Proposição 5:

é um espaço de Hilbert com o produto interno dado por

$\langle u,v\rangle_{H^1(U)} = \int_U u\cdot v \; dx +\int_U Du\cdot Dv \; dx$

Prova: Seja

uma sequência de Cauchy em H ¹. Então vemos que

é de Cauchy em L². Logo, converge em L² para um limite u. Do mesmo modo, para cada i, temos que

também é de Cauchy em L². Logo, para cada i,

converge para

. Vejamos que

é a derivada fraca de

na direção i:

Que vale para toda

. Logo, u está em H ¹, e completamos a demonstração.

Como é evidente que

, podemos considerar o fecho do primeiro espaço no segundo, e tal espaço será denotado por

. Para relacionar este ultimo espaço com noções concretas, vejamos o próximo resultado:

Proposição 6: Existe um operador T linear e contínuo, definido em H¹(U) e com valores em

, tal que, se

, então

Mais ainda, temos que

Prova: Veja Teoremas 5.5.1 e 5.5.2 de [2].

Suponhamos então que tenhamos um operador definido por

$Lu := \sum_{ij=1}^n \partial_{x_j}(a^{ij}\partial_{x_i}u) + \sum_{i=1}^n b_i\partial_{x_i}u + cu$

Suponhamos que u seja uma solução do problema de Dirichlet

Queremos definir uma noção apropriada de solução fraca para tal equação. Então, usando a proposição acima, e multiplicando por uma

, temos que, após integrar por partes (usando o Teorema de Gauss-Green)

$-\int_U\sum_{i,j=1}^n a^{ij}\partial_{x_i}u \;\partial_{x_j}v \; dx +\int_Ub_i\partial_{x_i}u \; v\;dx + \int_Ucuv \; dx = \int_U fv \; dx$

Diremos, portanto, que u em H¹(U) é solução fraca do problema de Dirichlet se satisfizer a equação integral acima.

Suponhamos agora que L satisfaça a condição de Elipticidade Uniforme:

Para algum ? > 0. Considere portanto a forma bilinear B dada por

$B[u,v]= -\int_Ua^{ij}\partial_{x_i}u\;\partial_{x_j}v \;dx+\int_U b_i\partial_{x_i}u \; v \; dx + \int_Ucuv \; dx$

Transformamos o problema de encontrar uma solução fraca para tal EDP no problema de achar um u tal que para f em L² fixa temos que B[u,v] = (f,v), onde ( , ) denota o produto interno de L². Nesse momento que se torna interessante olhar para o teorema de Lax-Milgram, pois, talvez após alguns ajustes, devemos poder utilizá-lo, obtendo um teorema de existência e unicidade para soluções fracas de tal equação. Então, se existir uma solução clássica para tal problema (ou seja, se

), com Du em L², então esta deve ser única. Mais precisamente:

Teorema 7: (Primeiro Teorema de Existência e Unicidade) Existe um a ? 0 tal que, se d ? a, então o problema

$\begin{cases} Lu + du = f \text{em}\; U \\ u = 0 \;\text{no} \; \partial U \end{cases}$

Tem uma única solução fraca para cada f em L².

Prova: Chamaremos a seguinte forma bilinear de a-associada a B:

$B_a[u,v]=B[u,v]+a(u,v)_{L^2}$

Se tivermos

, então uma conta fácil nos diz que tal forma é contínua para todo a em R. Para a coercividade, veja que, da elipticidade uniforme,

Por outro lado,

$B[u,u]-\int_U\sum_{i=1}^nb_i\partial_{x_i}u\;u\;dx-\int_Ucu^2 \; dx \le \\ B[u,u] + C_{\theta, b_i}||u||_{L^2}^2 + \frac{\theta}{2}\int_U |Du|^2 \; dx+||c||_{L^{\infty}} ||u||_{L^2}^2 = \\B[u,u]+\frac{\theta}{2}\int_U|Du|^2\;dx + K_{\theta,b_i,c}||u||_{L^2}^2$

Onde a desigualdade acima foi obtida usando a desigualdade de Cauchy-Schwartz, seguida da desigualdade entre as médias polarizada com um t adequado. Assim, pela Desigualdade de Poincaré (Veja [2], Teorema 5.6.3 ou Exercício 8 abaixo), se d ? K como na desigualdade acima, temos que a forma associada satisfaz as condições pro teorema de Lax-Milgram. Como cada f em L² pode ser vista como um funcional linear contínuo em H¹(U), então obtemos, pelo Teorema de Lax-Milgram, que existe um único u em L² tal que

B[u,v] + d (u,v) = (f,v)

Para toda v em

. Logo, u é a única solução fraca de

$\begin{cases} Lu + du = f \text{em}\; U \\ u = 0 \;\text{no} \; \partial U \end{cases}$

Como queríamos demonstrar.

Na seção de exercícios, sugeriremos algumas outras aplicações do Teorema de Representação de Riesz e do Teorema de Lax-Milgram, bem como mais sobre espaços de Hilbert.

-Exercícios-

1. Prove que o espaço L², definido como no Exemplo 1 acima, é um espaço de Hilbert.

2. Prove que o espaço l²(N), definido como no Exemplo 2 acima, é um espaço de Hilbert.

3. Seja f em L¹ do espaço real n-dimensional. Definimos sua Transformada de Fourier como a função

(a) Mostre que a transformada de Fourier F definida em L¹ é tal que Ff é contínua, limitada e vai a zero no infinito.

(b) Se f está em L¹ e L², sabemos que a norma L² da sua transformada de Fourier é igual à sua norma L², ou seja,

(Veja [2], Teorema 4.3.1, por exemplo). Mostre que isso nos permite estender a transformada de Fourier de maneira única a L², onde esta é um isomorfismo isométrico.

definido no Exemplo 3 acima é um Espaço de Hilbert.

4. Prove a identidade do paralelogramo: Se H é um espaço de Hilbert, v,w estão em H, então

$\left|\frac{v-w}{2}\right|^2 + \left|\frac{v+w}{2}\right|^2 = \frac{1}{2}(|v|^2+|w|^2)$

(Dica: |u|² = (u,u))

5. Prove, com a desigualdade da projeção, que a projeção em um convexo K é única.

6. Seja $L^2({\Omega}), h: \Omega \rightarrow [0,+\infty)$ mensurável. Prove que o conjunto

É convexo e fechado. Determine, de forma explícita, a projeção

7. Dizemos que uma sequência

num espaço de Banach B converge fracamente para um u se, para qualquer f elemento do dual de B, a sequência de reais

Escrevemos, então,

Assim, considere H um espaço de Hilbert, e uma tal sequência

com

Prove que

(Dica: Siga a dica do Exercício 4).

8. Seja U um conjunto aberto, limitado. Então, prove que existe C > 0 tal que, para toda u em H¹(U),

Obs.: Pode ser útil saber que C¹(U) é denso em H¹(U). Para uma prova deste resultado, veja [2], Teorema 5.3.2.

(Dica: Use o Teorema Fundamental do Cálculo)

9. Formule uma noção de solução fraca para o problema de Poisson com condições de bordo de Neumann:

Onde ? denota o vetor normal exterior no bordo de U. Prove que tal problema tem solução fraca única se e só se

10. Prove que as únicas soluções do problema de Poisson-Neumann homogêneo

São u = C constantes.

-Referências-

[1] - H. Brezis. Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations. Springer, 2011.

[2] - L.C. Evans. Partial Differential Equations (Second Edition). American Mathematical Society, 2010.

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