Matemática

Boole e a álgebra do Pensamento

A lógica como ciência remonta a Aristóteles (384-322 a.C.), seu criador. No século XVII Descartes (1596 - 1650) e Leibniz (1646 - 1716) tencionaram dotá-la de padrões matemáticos, o que pressupõe uma simbologia e um cálculo formal próprios. O alcance dessa lógica seria universal, aplicável a todos os campos do conhecimento. Mas nenhum dos dois deixou sobre o assunto senão alguns escritos fragmentados. Inclusive a contribuição de Leibniz, embora específica, somente em 1901 se tornou conhecida.

Assim é o marco inicial da lógica simbólica, embora Leibniz seja considerado seu fundador, está fincado no ano de 1847 com a publicação de Mathematical analysis of Logic de Gerge Boole (1815 - 1864) e Formal Logic de Augustus De Morgan (1806 - 1871).

De família modesta, Boole nasceu em Lincoln, na Inglaterra. Sua instrução formal não passou dos graus básicos mas, dotado de grande inteligência, e vendo no conhecimento o caminho de seu gosto para ascender socialmente, enveredou pelo autoditadismo. De início aprendeu por si só o latim e o grego. Depois, como professor de uma escola elementar, resolveu ampliar seus conhecimentos de matemática, pondo-se a estudar, entre outras, obras clássicas de Laplace e Lagrange. O interesse pela lógica certamente derivou de seu relacionamento com De Morgan, de quem ficara amigo. Sua obra citada, embora não lhe trouxesse grande fama, propiciou-lhe, dois anos depois de publicada, uma nomeação de professor no recém-criado Queens College, em Cork, Irlanda.

Em 1854 Boole lança sua obra prima, Investigation of the laws of thought (As leis do pensamento - como é usualmente conhecida), na qual elucida e amplia as idéias de 1847. A finalidade era ainda expressar simbolicamente as leis do pensamento, visando poder usar de maneira mais direta e precisa a dedução lógica.

Boole procurava transformar certos processos elementares do raciocínio em axiomas da lógica. A chamada álgebra dos conjuntos ou álgebra do Boole, introduzida por ele em As leis do pensamento, dá bem uma idéia disso. Boole usava letras x, y, z ... para indicar as partes (sub-conjuntos) de um conjunto tomado como universo. Se x e y denotavam duas dessas partes, o que hoje chamamos de interseção e união, Boole indicava por xy e x + y, respectivamente. (Os símbolos atuais de união e interseção são devidos a Giuseppe Peano (1858 - 1932).) Na verdade, as uniões consideradas por Boole pressupunham partes disjuntas; a generalização, para o conceito atual, é devida a W.S.Jevons (1835-1882).

Assim, sendo óbvio para o espírito que xy = yx e x + y = y + x, (xy)z = x(yz) e x + (y + z) = (x + y) + z e x(y + z) = xy + xz, essas leis foram tomadas como axiomas de sua álgebra. Até aí não há diferença entre as álgebras usuais e a de Boole, sob o aspecto estrutural. Mas nesta última há leis particulares como x² = xx = x e x + x = x. Ou ainda, simbolizando por 1 o conjunto universo (notação de Boole): 1 + 1 = 1.

Um exemplo menos imediato envolve a lei do terceiro excluído. Por exemplo, se 1 indica o conjunto de todos os seres vivos e x o conjunto de gatos, como 1 - x era para Boole o complemento de x, então x + (1 - x) = 1 traduz a lei referida: todo ser vivo ou é gato ou não é gato.

Não passou despercebida a Boole a semelhança entre a álgebra dos conjuntos e das proposições. Assim é que para duas proposições p e q indicava por pq a conjunção "p e q" e por p + q a disjunção "p ou q". A afirmação x = 1 significa , nesse contexto, que x é verdadeira e x = 0 que x é falsa. Mas Boole não foi longe com esse assunto.

Porém já tinha feito o bastante para ser considerado pelo grande matemático e filósofo galês deste século, Betrand Russel, como descobridor da matemática pura.

Por Hygino H. Domingues.

Fonte: Fundamentos da Matemática Elementar Vol. 1.

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Bem pessoal, estaremos postando alguns textos contidos na coleção Fundamentos da Matemática Elementar. Deu um pouquinho de trabalho para digitar, mas, fazemos isso porque gostamos.

E espero que vocês também gostem de ler.

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