Matemática
CIRCUNFERÊNCIA
É o conjunto dos pontos do plano cuja distância ao ponto C é igual a r.
O ponto C é chamado centro da circunferência e o segmento de reta que liga um ponto qualquer dela ao centro é chamado raio da circunferência. Assim, r é a medida desse segmento.
EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
1. Equação reduzida
Seja uma circunferência com centro no ponto Q (a, b) e raio r; temos o ponto P (x, y) pertencente à circunferência se, e somente se:
d (Q, P) = r ou
Então, uma circunferência com centro no ponto Q (a, b) e raio r tem equação (x - a)2 + (y - b)2 = r2 (equação reduzida da circunferência).
Observação – Se o centro da circunferência estiver na origem, então a = b = 0, e sua equação será:
x2 + y2 = r2
2. Equação geral ou normal
Desenvolvendo a equação reduzida (x - a)2 + (y - b)2 = r2, vamos obter:
x2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 - r2 = 0
Portanto, x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0 é a equação geral da circunferência.
Observação – A equação normal da circunferência também pode ser apresentada na forma x2 + y2 + Ax - By + C = 0, onde
A = -2a, B = -2b e C = a2 + b2 - r2
Aplicação
Determine as equações da circunferência de centro (1, 5) e raio 2.
Solução:
Sendo a = 1, b = 5 e r = 2, então, temos:
Sendo a = 2, b = 4 e r = 3, então, temos:
(x - a)2 + (y - b)2 = r2 (x - 1)2 + (y - 5)2 = 22
(x - 1)2 + (y - 5)2 = 4 (equação reduzida)
(x - 1)2 + (y - 5)2 = 4
x2 - 2x + 1 + y2 - 10y + 25 - 4 = 0
x2 + y2 - 2x - 10y + 22 = 0 (equação geral)
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA
Quando temos um ponto P (x,y) e uma circunferência C de centro (a,b) e raio r, as possíveis posições relativas de P e C são:
- Circunferências
Temos que a equação da circunferência se apresenta na forma reduzida ou na forma normal. A forma reduzida é expressa por (x – xC)² + (y – yC)² = r², onde xC e yC são as coordenadas do centro da circunferência, r o raio e x e y coordenadas...
- Posição Relativa Entre Ponto E Circunferência
O ponto comparado à circunferência pode assumir três posições diferentes, pode ser: externo à circunferência, interno à circunferência ou pertencer à circunferência. Antes é preciso saber o que é uma circunferência, veja o desenho abaixo...
- Equação Reduzida Da Circunferência
Da mesma forma que equacionamos uma reta é possível também representarmos uma circunferência na forma de equações, utilizando seu centro e um ponto genérico da circunferência. Veja a representação em um plano cartesiano de uma circunferência...
- Equação Reduzida Da Circunferência
A equação reduzida da circunferência é dada pela expressão (x – a)² + (y – b)² = R². Para definir essa expressão vamos analisar a situação da ilustração a seguir:Na ilustração, a circunferência possui centro C com coordenadas (a, b)....
- Equação Da Circunferência
Da mesma forma que equacionamos uma reta é possível também representarmos uma circunferência na forma de equações, utilizando seu centro e um ponto genérico da circunferência. Veja a representação em um plano cartesiano de uma circunferência...
Matemática
Circunferências
CIRCUNFERÊNCIA
É o conjunto dos pontos do plano cuja distância ao ponto C é igual a r.
O ponto C é chamado centro da circunferência e o segmento de reta que liga um ponto qualquer dela ao centro é chamado raio da circunferência. Assim, r é a medida desse segmento.
EQUAÇÃO DA CIRCUNFERÊNCIA
1. Equação reduzida
Seja uma circunferência com centro no ponto Q (a, b) e raio r; temos o ponto P (x, y) pertencente à circunferência se, e somente se:
d (Q, P) = r ou
Então, uma circunferência com centro no ponto Q (a, b) e raio r tem equação (x - a)2 + (y - b)2 = r2 (equação reduzida da circunferência).
Observação – Se o centro da circunferência estiver na origem, então a = b = 0, e sua equação será:
x2 + y2 = r2
2. Equação geral ou normal
Desenvolvendo a equação reduzida (x - a)2 + (y - b)2 = r2, vamos obter:
x2 - 2ax + a2 + y2 - 2by + b2 - r2 = 0
Portanto, x2 + y2 - 2ax - 2by + a2 + b2 - r2 = 0 é a equação geral da circunferência.
Observação – A equação normal da circunferência também pode ser apresentada na forma x2 + y2 + Ax - By + C = 0, onde
A = -2a, B = -2b e C = a2 + b2 - r2
Aplicação
Determine as equações da circunferência de centro (1, 5) e raio 2.
Solução:
Sendo a = 1, b = 5 e r = 2, então, temos:
Sendo a = 2, b = 4 e r = 3, então, temos:
(x - a)2 + (y - b)2 = r2 (x - 1)2 + (y - 5)2 = 22
(x - 1)2 + (y - 5)2 = 4 (equação reduzida)
(x - 1)2 + (y - 5)2 = 4
x2 - 2x + 1 + y2 - 10y + 25 - 4 = 0
x2 + y2 - 2x - 10y + 22 = 0 (equação geral)
POSIÇÕES RELATIVAS ENTRE PONTO E CIRCUNFERÊNCIA
Quando temos um ponto P (x,y) e uma circunferência C de centro (a,b) e raio r, as possíveis posições relativas de P e C são:
- Circunferências
Temos que a equação da circunferência se apresenta na forma reduzida ou na forma normal. A forma reduzida é expressa por (x – xC)² + (y – yC)² = r², onde xC e yC são as coordenadas do centro da circunferência, r o raio e x e y coordenadas...
- Posição Relativa Entre Ponto E Circunferência
O ponto comparado à circunferência pode assumir três posições diferentes, pode ser: externo à circunferência, interno à circunferência ou pertencer à circunferência. Antes é preciso saber o que é uma circunferência, veja o desenho abaixo...
- Equação Reduzida Da Circunferência
Da mesma forma que equacionamos uma reta é possível também representarmos uma circunferência na forma de equações, utilizando seu centro e um ponto genérico da circunferência. Veja a representação em um plano cartesiano de uma circunferência...
- Equação Reduzida Da Circunferência
A equação reduzida da circunferência é dada pela expressão (x – a)² + (y – b)² = R². Para definir essa expressão vamos analisar a situação da ilustração a seguir:Na ilustração, a circunferência possui centro C com coordenadas (a, b)....
- Equação Da Circunferência
Da mesma forma que equacionamos uma reta é possível também representarmos uma circunferência na forma de equações, utilizando seu centro e um ponto genérico da circunferência. Veja a representação em um plano cartesiano de uma circunferência...