Matemática
Para reconhecer uma circunferência é preciso levar em consideração a definição de uma equação do segundo grau com duas incógnitas, pois se observarmos uma equação normal ou reduzida da circunferência perceberemos que são exemplos desse tipo de equação.
Veja a forma geral de uma equação do segundo grau com duas incógnitas.
Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0
Nem todas as equações do segundo grau com duas incógnitas podem ser consideradas equações da circunferência, é preciso que seus coeficientes (A,B,C,D,E,F) obedeçam algumas condições, veja quais são elas:
É preciso saber que os coeficientes A, B, C, D, E, F pertencem ao conjunto dos reais e que A, B e C não são simultaneamente nulos.
• Os coeficientes A e B devem ser iguais e diferentes de zero (A=B ≠ 0)
• O coeficiente C dever ser igual à zero (C = 0).
• Em uma equação da circunferência escrita na sua forma reduzida, o valor do segundo membro da igualdade deverá ser um valor positivo: (x – a)2 + (y – b)2 = k; k > 0.
Exemplo: verifique se a equação x2 + 3y2 – 6x + 4y - 9 = 0 pode ser considerada uma equação da circunferência.
É preciso que verifiquemos todas as condições, mas nesse caso a primeira já elimina a possibilidade de ser uma equação da circunferência, pois os coeficientes de x2 e y2 são diferentes.
Exemplo: verifique se a equação x2– 6x - 4y +1 = 0 pode ser considerada uma equação da circunferência.
Nesse caso apenas a primeira condição elimina essa possibilidade, pois o coeficiente de y2 é igual a zero.
Exemplo: verifique se a equação -x2 - y2 + 8x -7 = 0 pode ser considerada uma equação da circunferência.
Essa equação será considerada uma equação da circunferência, pois satisfaz todas as condições:
• Os coeficientes de x2 e y2 são todos iguais e diferentes de zero.
• O coeficiente de xy é igual a zero.
• Passando a equação -x2 - y2 + 8x -7 = 0 para a forma reduzida iremos verificar a última condição:
-x2 - y2 + 8x -7 = 0 (-1)
x2 + y2 - 8x +7 = 0
(x2 - 8x) + (y2 +0y) = -7
(x2 - 8x + 16) + (y2 +0y) = -7 +16
(x2 - 8x + 16) + (y2 +0y + 0) = -7 +16 + 0
(x + 4)2 + (y + 0)2 = 9
Como 9 > 0, a equação representa uma circunferência.
- Equação Do Segundo Grau
Definimos equação do segundo grau na incógnita x a toda equação que pode ser escrita na forma reduzida : ax2 + bx + c = 0 onde a, b e c são números reais e onde a é obrigatoriamente diferente de zero. Dessa forma : a é o coeficiente de x2 ,...
- Equação Completa Do Segundo Grau
Equação do Segundo Grau - Parte I Definimos equação do segundo grau na incógnita x a toda equação que pode ser escrita na forma reduzida : ax2 + bx + c = 0 onde a, b e c são números reais e onde a é obrigatoriamente diferente de zero. Dessa...
- Circunferências
Verifique qual a posição dos pontos P(0,0); Q(1,-4); R(-2,-5) em relação à circunferência de equação x2 + y2 + 2x + 8y + 13 = 0 Deve-se transformar essa equação normal em reduzida. x2 + y2 + 2x + 8y + 13 = 0 x2 + 2x + y2 + 8y = -13 (x2 + 2x...
- Interseção De Reta E Circunferências
Uma forma de encontrar a posição relativa entre uma reta e uma circunferência é verificando a sua intersecção, ou seja, analisando se a reta e a circunferência terão dois pontos em comum, apenas um ponto em comum ou nenhum ponto em comum. O valor...
- Circunferências
CIRCUNFERÊNCIA É o conjunto dos pontos do plano cuja distância ao ponto C é igual a r. O ponto C é chamado centro da circunferência e o segmento de reta que liga um ponto qualquer dela ao centro é chamado raio da circunferência. Assim, r é a...
Matemática
Circunferências
Para reconhecer uma circunferência é preciso levar em consideração a definição de uma equação do segundo grau com duas incógnitas, pois se observarmos uma equação normal ou reduzida da circunferência perceberemos que são exemplos desse tipo de equação.
Veja a forma geral de uma equação do segundo grau com duas incógnitas.
Ax2 + By2 + Cxy + Dx + Ey + F = 0
Nem todas as equações do segundo grau com duas incógnitas podem ser consideradas equações da circunferência, é preciso que seus coeficientes (A,B,C,D,E,F) obedeçam algumas condições, veja quais são elas:
É preciso saber que os coeficientes A, B, C, D, E, F pertencem ao conjunto dos reais e que A, B e C não são simultaneamente nulos.
• Os coeficientes A e B devem ser iguais e diferentes de zero (A=B ≠ 0)
• O coeficiente C dever ser igual à zero (C = 0).
• Em uma equação da circunferência escrita na sua forma reduzida, o valor do segundo membro da igualdade deverá ser um valor positivo: (x – a)2 + (y – b)2 = k; k > 0.
Exemplo: verifique se a equação x2 + 3y2 – 6x + 4y - 9 = 0 pode ser considerada uma equação da circunferência.
É preciso que verifiquemos todas as condições, mas nesse caso a primeira já elimina a possibilidade de ser uma equação da circunferência, pois os coeficientes de x2 e y2 são diferentes.
Exemplo: verifique se a equação x2– 6x - 4y +1 = 0 pode ser considerada uma equação da circunferência.
Nesse caso apenas a primeira condição elimina essa possibilidade, pois o coeficiente de y2 é igual a zero.
Exemplo: verifique se a equação -x2 - y2 + 8x -7 = 0 pode ser considerada uma equação da circunferência.
Essa equação será considerada uma equação da circunferência, pois satisfaz todas as condições:
• Os coeficientes de x2 e y2 são todos iguais e diferentes de zero.
• O coeficiente de xy é igual a zero.
• Passando a equação -x2 - y2 + 8x -7 = 0 para a forma reduzida iremos verificar a última condição:
-x2 - y2 + 8x -7 = 0 (-1)
x2 + y2 - 8x +7 = 0
(x2 - 8x) + (y2 +0y) = -7
(x2 - 8x + 16) + (y2 +0y) = -7 +16
(x2 - 8x + 16) + (y2 +0y + 0) = -7 +16 + 0
(x + 4)2 + (y + 0)2 = 9
Como 9 > 0, a equação representa uma circunferência.
- Equação Do Segundo Grau
Definimos equação do segundo grau na incógnita x a toda equação que pode ser escrita na forma reduzida : ax2 + bx + c = 0 onde a, b e c são números reais e onde a é obrigatoriamente diferente de zero. Dessa forma : a é o coeficiente de x2 ,...
- Equação Completa Do Segundo Grau
Equação do Segundo Grau - Parte I Definimos equação do segundo grau na incógnita x a toda equação que pode ser escrita na forma reduzida : ax2 + bx + c = 0 onde a, b e c são números reais e onde a é obrigatoriamente diferente de zero. Dessa...
- Circunferências
Verifique qual a posição dos pontos P(0,0); Q(1,-4); R(-2,-5) em relação à circunferência de equação x2 + y2 + 2x + 8y + 13 = 0 Deve-se transformar essa equação normal em reduzida. x2 + y2 + 2x + 8y + 13 = 0 x2 + 2x + y2 + 8y = -13 (x2 + 2x...
- Interseção De Reta E Circunferências
Uma forma de encontrar a posição relativa entre uma reta e uma circunferência é verificando a sua intersecção, ou seja, analisando se a reta e a circunferência terão dois pontos em comum, apenas um ponto em comum ou nenhum ponto em comum. O valor...
- Circunferências
CIRCUNFERÊNCIA É o conjunto dos pontos do plano cuja distância ao ponto C é igual a r. O ponto C é chamado centro da circunferência e o segmento de reta que liga um ponto qualquer dela ao centro é chamado raio da circunferência. Assim, r é a...