Matemática
A geometria analítica utiliza meios algébricos para compreender e estudar as propriedades das figuras e entes geométricos. Utilizando equações e expressões é possível descrever o comportamento e as características de formas geométricas planas e espaciais. Vamos utilizar os conceitos dessa geometria a fim de determinar a condição para que três pontos distintos do plano estejam alinhados.
Considere A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) como sendo três pontos quaisquer e distintos do plano cartesiano.
Esses pontos estão alinhados se, e somente se:
Ou seja, três pontos do plano estão alinhados se o determinante de suas coordenadas for igual a zero.
Vejamos alguns exemplos para melhor entendimento.
Exemplo 1. Verifique se os pontos A(1, 5), B(6, 0) e C(4, 3) estão alinhados.
Solução: Devemos calcular o determinante das coordenadas dos três pontos e verificar se é igual a zero para que os pontos estejam alinhados.
Como o cálculo do determinante resultou em um número diferente de zero, concluímos que os pontos não estão alinhados.
Exemplo 2. Verifique se os pontos X(2, 3), Y(8, 9) e Z( – 2, – 1) estão alinhados.
Solução: Vamos realizar o cálculo do determinante e verificar se resulta em zero.
Como o determinante das coordenadas dos pontos resultou em zero, podemos afirmar que os pontos X, Y e Z estão alinhados.
Exemplo 3. Determine o valor de c para que os pontos D(5, c), E(3, 7) e F(4, 9) estejam alinhados.
Solução: Para que os pontos D, E e F estejam alinhados, o determinante de suas coordenadas deve ser igual a zero. Assim, temos que:
Como vimos, para os três pontos estarem alinhados o determinante deve ser igual a zero. Logo, teremos:
c – 11 = 0
c = 11.
Exemplo 4. Qual deve ser o valor de x para que os pontos A(x2 – 3, 0), B(5, 1) e C(4, 2) estejam alinhados?
Solução: Para que os pontos estejam alinhados, o determinante de suas coordenadas deverá ser igual a zero. Assim, temos que:
Como o determinante deve ser igual a zero, teremos:
-x2 + 9 = 0
-x2 = -9
x2 = 9
x = ±3
Marcelo Rigonatto
- Baricentro
Calcule as coordenadas do ponto médio M do segmento , sendo A (6, 10) e B(2, 8). Solução: Resposta: M (4, 9) COORDENADAS DO BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO Baricentro de um triângulo ao ponto G é a intersecção das três medianas deste triângulo....
- Baricentro
COORDENADAS DO BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO Baricentro de um triângulo ao ponto G é a intersecção das três medianas deste triângulo. Mediana de um triângulo é um segmento de reta que sai de um vértice e divide o lado oposto a este em duas partes...
- Condição De Alinhamento De Três Pontos
Três pontos estão alinhados se, e somente se, pertencerem à mesma reta. Para verificarmos se os pontos estão alinhados, podemos utilizar a construção gráfica determinando os pontos de acordo com suas coordenadas posicionais. Outra forma de determinar...
- Baricentro
Calcule as coordenadas do ponto médio M do segmento , sendo A (6, 10) e B(2, 8). Solução: Resposta: M (4, 9) COORDENADAS DO BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO Baricentro de um triângulo ao ponto G é a intersecção das três medianas deste triângulo....
- Área De Uma Região Triangular Através Do Determinante
Bem, sabemos que os elementos que fundamentam a geometria analítica são os pontos e suas coordenadas, já que através destes podemos calcular distâncias, coeficientes angulares das retas e áreas de figuras planas.Dentre os cálculos das áreas de...
Matemática
Condição de alinhamento de três pontos
A geometria analítica utiliza meios algébricos para compreender e estudar as propriedades das figuras e entes geométricos. Utilizando equações e expressões é possível descrever o comportamento e as características de formas geométricas planas e espaciais. Vamos utilizar os conceitos dessa geometria a fim de determinar a condição para que três pontos distintos do plano estejam alinhados.
Considere A(xA, yA), B(xB, yB) e C(xC, yC) como sendo três pontos quaisquer e distintos do plano cartesiano.
Esses pontos estão alinhados se, e somente se:
Ou seja, três pontos do plano estão alinhados se o determinante de suas coordenadas for igual a zero.
Vejamos alguns exemplos para melhor entendimento.
Exemplo 1. Verifique se os pontos A(1, 5), B(6, 0) e C(4, 3) estão alinhados.
Solução: Devemos calcular o determinante das coordenadas dos três pontos e verificar se é igual a zero para que os pontos estejam alinhados.
Como o cálculo do determinante resultou em um número diferente de zero, concluímos que os pontos não estão alinhados.
Exemplo 2. Verifique se os pontos X(2, 3), Y(8, 9) e Z( – 2, – 1) estão alinhados.
Solução: Vamos realizar o cálculo do determinante e verificar se resulta em zero.
Como o determinante das coordenadas dos pontos resultou em zero, podemos afirmar que os pontos X, Y e Z estão alinhados.
Exemplo 3. Determine o valor de c para que os pontos D(5, c), E(3, 7) e F(4, 9) estejam alinhados.
Solução: Para que os pontos D, E e F estejam alinhados, o determinante de suas coordenadas deve ser igual a zero. Assim, temos que:
Como vimos, para os três pontos estarem alinhados o determinante deve ser igual a zero. Logo, teremos:
c – 11 = 0
c = 11.
Exemplo 4. Qual deve ser o valor de x para que os pontos A(x2 – 3, 0), B(5, 1) e C(4, 2) estejam alinhados?
Solução: Para que os pontos estejam alinhados, o determinante de suas coordenadas deverá ser igual a zero. Assim, temos que:
Como o determinante deve ser igual a zero, teremos:
-x2 + 9 = 0
-x2 = -9
x2 = 9
x = ±3
Marcelo Rigonatto
- Baricentro
Calcule as coordenadas do ponto médio M do segmento , sendo A (6, 10) e B(2, 8). Solução: Resposta: M (4, 9) COORDENADAS DO BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO Baricentro de um triângulo ao ponto G é a intersecção das três medianas deste triângulo....
- Baricentro
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- Condição De Alinhamento De Três Pontos
Três pontos estão alinhados se, e somente se, pertencerem à mesma reta. Para verificarmos se os pontos estão alinhados, podemos utilizar a construção gráfica determinando os pontos de acordo com suas coordenadas posicionais. Outra forma de determinar...
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Calcule as coordenadas do ponto médio M do segmento , sendo A (6, 10) e B(2, 8). Solução: Resposta: M (4, 9) COORDENADAS DO BARICENTRO DE UM TRIÂNGULO Baricentro de um triângulo ao ponto G é a intersecção das três medianas deste triângulo....
- Área De Uma Região Triangular Através Do Determinante
Bem, sabemos que os elementos que fundamentam a geometria analítica são os pontos e suas coordenadas, já que através destes podemos calcular distâncias, coeficientes angulares das retas e áreas de figuras planas.Dentre os cálculos das áreas de...