Matemática
- Retas Paralelas
No estudo analítico da reta não podemos deixar de falar das posições relativas entre retas. Dadas duas ou mais retas do plano, elas podem ser paralelas, concorrentes, coincidentes ou concorrentes perpendiculares. Abordaremos aqui o paralelismo de...
- Geometria Analítica
1 - O uso do Determinante de terceira ordem na Geometria Analítica 1.1 - Área de um triângulo Seja o triângulo ABC de vértices A(xa , ya) , B(xb , xc) e C(xc , yc) . A área S desse triângulo é dada por S = 1/2 . | D | onde ½ D½ é o módulo...
- Sistema De Duas Equações
Um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas é formado por duas equações, onde cada equação possui duas variáveis x e y. Veja o exemplo: A resolução de um sistema consiste em calcular o valor de x e y que satisfazem as equações...
- Posições Relativas De Duas Retas
Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro BarrosoColégio Estadual Dinah Gonçalvesemail [email protected] www.ensinodematemtica.blogspot.com.brwww.accbarrosogestar.blogspot.com.br WWW.profantoniocarneiro.com ...
- ângulos
Ângulo reto Ângulos retos são duas retas concorrentes que possuem um único ponto em comum. As retas concorrentes estabelecem quatro regiões angulares adjacentes. Quando estas forem congruentes, uma delas definirá uma região de ângulo reto. Observação:...
Matemática
Condição de concorrência de duas retas
Dado um ponto P qualquer de coordenadas (x0,y0) comum a duas retas r e s, dizemos que as retas são concorrentes em P. Dessa forma, as coordenadas do ponto P satisfazem a equação das retas r e s.
Dada as retas r: a1x + b1y + c1 = 0 e s:a2x + b2y + c2 = 0, elas serão concorrentes se satisfazerem a condição estabelecida pela seguinte matriz quadrada:
.
Dessa forma, duas retas serão concorrentes se a matriz formada por seus coeficientes a e b resultarem em um determinante diferente de zero.
Exemplo 1
Verifique se as retas r: 2x – y + 6 = 0 e s: 2x + 3y – 6 = 0 são concorrentes.
Resolução:
Dada as retas r: a1x + b1y + c1 = 0 e s:a2x + b2y + c2 = 0, elas serão concorrentes se satisfazerem a condição estabelecida pela seguinte matriz quadrada:
. Dessa forma, duas retas serão concorrentes se a matriz formada por seus coeficientes a e b resultarem em um determinante diferente de zero.
Exemplo 1
Verifique se as retas r: 2x – y + 6 = 0 e s: 2x + 3y – 6 = 0 são concorrentes.
Resolução:
O determinante da matriz dos coeficientes das retas r e s resultou no número 8, que é diferente de zero. Portanto, as retas são concorrentes.
Determinando a coordenada do ponto de intersecção das retas
Para determinarmos a coordenada do ponto de intersecção das retas, basta organizarmos as equações das retas num sistema de equações, calculando os valores de x e y, utilizando o método resolutivo da substituição ou da adição.
Exemplo 2
Vamos determinar as coordenadas dos pontos de intersecção das retas r: 2x – y + 6 = 0 e s: 2x + 3y – 6 = 0.
Organizando as equações
r: 2x – y + 6 = 0 → 2x – y = –6
s: 2x + 3y – 6 = 0 → 2x + 3y = 6
Montando o sistema de equações:
Determinando a coordenada do ponto de intersecção das retas
Para determinarmos a coordenada do ponto de intersecção das retas, basta organizarmos as equações das retas num sistema de equações, calculando os valores de x e y, utilizando o método resolutivo da substituição ou da adição.
Exemplo 2
Vamos determinar as coordenadas dos pontos de intersecção das retas r: 2x – y + 6 = 0 e s: 2x + 3y – 6 = 0.
Organizando as equações
r: 2x – y + 6 = 0 → 2x – y = –6
s: 2x + 3y – 6 = 0 → 2x + 3y = 6
Montando o sistema de equações:
Resolvendo o sistema pelo método da substituição
1º equação – isolar y
2x – y = –6
–y = – 6 – 2x (multiplicar por –1)
y = 6 + 2x
2º equação – substituir y por 6 + 2x
2x + 3y = 6
2x + 3(6 + 2x) = 6
2x + 18 + 6x = 6
2x + 6x = 6 – 18
8x = – 12
x = –12/8
x = – 3/2
Determinando o valor de y
y = 6 + 2x
y = 6 + 2*(–3/2)
y = 6 – 6/2
y = 6 – 3
y = 3
Portanto, as coordenadas do ponto de intersecção das retas r: 2x – y + 6 = 0 e s: 2x + 3y – 6 = 0 é x = –3/2 e y = 3.
Marcos Noé
1º equação – isolar y
2x – y = –6
–y = – 6 – 2x (multiplicar por –1)
y = 6 + 2x
2º equação – substituir y por 6 + 2x
2x + 3y = 6
2x + 3(6 + 2x) = 6
2x + 18 + 6x = 6
2x + 6x = 6 – 18
8x = – 12
x = –12/8
x = – 3/2
Determinando o valor de y
y = 6 + 2x
y = 6 + 2*(–3/2)
y = 6 – 6/2
y = 6 – 3
y = 3
Portanto, as coordenadas do ponto de intersecção das retas r: 2x – y + 6 = 0 e s: 2x + 3y – 6 = 0 é x = –3/2 e y = 3.
- Retas Paralelas
No estudo analítico da reta não podemos deixar de falar das posições relativas entre retas. Dadas duas ou mais retas do plano, elas podem ser paralelas, concorrentes, coincidentes ou concorrentes perpendiculares. Abordaremos aqui o paralelismo de...
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1 - O uso do Determinante de terceira ordem na Geometria Analítica 1.1 - Área de um triângulo Seja o triângulo ABC de vértices A(xa , ya) , B(xb , xc) e C(xc , yc) . A área S desse triângulo é dada por S = 1/2 . | D | onde ½ D½ é o módulo...
- Sistema De Duas Equações
Um sistema de equações do 1º grau com duas incógnitas é formado por duas equações, onde cada equação possui duas variáveis x e y. Veja o exemplo: A resolução de um sistema consiste em calcular o valor de x e y que satisfazem as equações...
- Posições Relativas De Duas Retas
Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro BarrosoColégio Estadual Dinah Gonçalvesemail [email protected] www.ensinodematemtica.blogspot.com.brwww.accbarrosogestar.blogspot.com.br WWW.profantoniocarneiro.com ...
- ângulos
Ângulo reto Ângulos retos são duas retas concorrentes que possuem um único ponto em comum. As retas concorrentes estabelecem quatro regiões angulares adjacentes. Quando estas forem congruentes, uma delas definirá uma região de ângulo reto. Observação:...