Matemática
Relação de pertinência
Cada aluno da classe tem uma mesma propriedade: estar na sala de aula. Assim, ao falarmos neste conjunto estabelecemos a possibilidade de averiguar se uma pessoa pertence ou não a ele. O conceito básico da teoria dos conjuntos é a relação de pertinência representada pelo símbolo . As letras minúsculas designam os elementos de um conjunto e as maiúsculas, os conjuntos. Assim, o conjunto das vogais (V) é:
V = {a, e, i, o, u}
• A relação de pertinência é expressa por: a V, pois o elemento a pertence ao conjunto V.
• A relação de não-pertinência é expressa por: bV, pois o elemento b não pertence ao conjunto V.
Figura 2
Representação de um conjunto
Para representar um conjunto pode-se escrever, entre chaves, todos os elementos que pertencem ao conjunto, como foi demonstrado anteriormente o conjunto V, ou então expressá-lo graficamente com um diagrama de Venn. Os conjuntos são representados por curvas fechadas e, em seu interior, os elementos, por pontos (Figura 2).
Formação de um conjunto
Um conjunto pode ser definido de duas maneiras:
• Enumerando todos os elementos do conjunto:
S = {1, 3, 5, 7, 9}
• Expressando uma ou mais propriedades que se verificam para todos os seus elementos e somente para eles:
S = {números ímpares de um algarismo} Podemos representá-lo assim:
B = {x S | x tem a propriedade P}; (lê-se: x pertence ao conjunto S tal que x possui a propriedade P).
O conjunto B é formado por todos os elementos de S que possuem a propriedade P.
Exemplo:
Sendo N o conjunto dos números naturais:
B = {xN | x < 8}
Enumerando-se os elementos de B temos:
B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Conjunto vazio
É aquele que não contém nenhum elemento e é representado matematicamente porou por duas chaves { } em que não se escreve nada dentro.
Subconjuntos de um conjunto
Quando todos os elementos de um conjunto A pertencem também a outro conjunto B, dizemos que:
• A é um subconjunto de B
• ou então que ... A é uma parte de B
• ou então que ... A está incluído em B e escrevemos:
AB
Se existir pelo menos um elemento de A que não pertença a B, diremos então que A não está incluído em B e escreveremos:
AB
Exemplo:
Figura 3
Seja V o conjunto das vogais e L o das letras do alfabeto: VL (Figura 3, ao lado).
Conjunto das partes de um conjunto
Se tivermos um conjunto de elementos a que chamamos F, o conjunto das partes de F será aquele formado por todos os possíveis subconjuntos de F e será representado por (F).
Se o conjunto F tem n elementos, então o conjunto das partes de F, ,(F), terá 2n elementos.
Exemplo:
Sendo F = {3, 5, 9}, vamos escrever todos os possíveis subconjuntos de F:
• com nenhum elemento
• com 1 elemento {3}, {5}, {9}
• com 2 elementos {3, 5}, {3, 9}, {5, 9}
• com 3 elementos {3, 5, 9}
Podemos então escrever: (F) = {, {3}, {5}, {9}, {3, 5}, {3, 9}, {5, 9}, {3, 5, 9} }
O número de elementos de um conjunto F é denominado ordem do conjunto e é indicado por n(F).
Repare que no exemplo acima n(F) = 3 e n ((F)) = 23 = 8
Relação de inclusão
A relação de inclusão possui 3 propriedades:
Propriedade reflexiva: AA, isto é, um conjunto sempre é subconjunto dele mesmo.
Propriedade anti-simétrica: se AB e BA, então A = B.
Propriedade transitiva: se AB e BC, então AC.
Conjunto complementar
Se considerarmos o retângulo R (Figura 4, abaixo) e sua parte hachurada A, observaremos que A é um subconjunto de R.
AR
A outra parte pontilhada chama-se complementar de A com respeito a R e é representada por .
Figura 4
No caso dos alunos de uma classe, o conjunto complementar do conjunto dos alunos presentes à aula será formado pelos alunos ausentes à aula.
União e intersecção de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, existe sempre um terceiro formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos a que chamamos conjunto união e representamos por: AB.
Formalmente temos que: A B = {x| x A ou x B}
A união de conjuntos obedece às seguintes propriedades:
Propriedade comutativa:
A B = B A
Propriedade associativa:
A (B C) = (A B) C
Elemento Neutro:
A = A
Figura 5
Utilizando os diagramas de Venn (Figura 5, ao lado), verificamos algumas das propriedades acima.
A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto
formado pelos elementos que são ao mesmo
tempo de A e de B, e é representada por: A B
Formalmente temos que: A B = {x| x A e x B}
A intersecção de dois conjuntos obedece às seguintes propriedades:
Propriedade comutativa:
A B = B A
Propriedade associativa:
A (B C) = (A B) C
Propriedade de idempotência:
A A = A
Figura 6
A =
Utilizando os diagramas de Venn (Figura 6, ao lado),
podemos verificar algumas das propriedades acima.
Relacionando união e intersecção, surgem
duas outras propriedades interessantes:
Propriedade distributiva da união com relação à intersecção:
A (B C) = (A B) (A C);
Propriedade distributiva da intersecção com relação à união:
A (B C) = (A B) (A C).
Produto cartesiano
O produto cartesiano de dois conjuntos A e B, escrito A X B, é o conjunto formado por todos os pares ordenados (a, b), em que o primeiro elemento a pertence a A e o segundo elemento b pertence a B.
Simbolicamente, podemos escrever:
A X B = {(a, b)| a A, b B}
Se A = {1, 2} e B = {x, y, z}, então:
A X B = {(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z)}
O conjunto A X B tem 2 X 3 = 6 elementos.
Em geral, se A tem a elementos e B tem b elementos, A X B tem a X b elementos, isto é:
se n(A) = a e n(B) = b, temos que n(A X B) = a X b.
É importante salientar que os pares ordenados recebem estes nomes por se constituírem de 2 elementos em que é fundamental a ordem na qual se apresentam.
No exemplo, o par (1, x) pertence a A X B. Mas o mesmo não acontece com o par (x, 1), que pertenceria ao produto B X A.
Figura 7
É por isso que se afirma que o produto cartesiano não tem a propriedade comutativa. Ele pode ser representado de várias formas, como indica a Figura 7, ao lado:
• Com um diagrama de flechas.
• Com um diagrama cartesiano.
• Com um diagrama em árvore.
As propriedades do produto cartesiano são as seguintes:
Propriedade associativa:
(A X B) X C = A X (B X C) = A X B X C
A X =
A X B = se, e somente se, A = ou B = Se C e
A X C = B X C, então: A = B
EXERCÍCIOS
1. Enumere os conjuntos D = {dias da semana}.
2. Considerar o conjunto M.
M = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}
Que propriedade obedecem todos os elementos do conjunto M?
Expresse o conjunto M por meio da propriedade que caracteriza todos os seus elementos.
3. Determinar qual dos conjuntos seguintes está descrito pela propriedade de seus elementos e qual está com os elementos enumerados:
A = {Pessoas que receberam o Prêmio Nobel}
B = {José, Emílio, Berta, Joana, Rafael}
4. Indicar todos os subconjuntos que podem ser formados com os elementos do conjunto A.
A = {a, b, c}
5. Dados os seguintes conjuntos:
A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {4, 5, 6}; C = {2, 3, 4}
Calcular:
a) A B; b) A C; c) A (B C); d) (A B) C
- Conjunto
Como representar um conjunto • Pela designação de seus elementos Os elementos são colocados entre chaves, e separados por vírgula ou ponto e vírgula. Por exemplo: C = {e, j, m, o, z} - indica que o conjunto C é formado pelos elementos e, j, m,...
- Conjunto
Quando falamos de operação lembramos logo de adição, subtração, divisão, multiplicação entre números. É possível também operar conjuntos. Essas operações recebem nomes diferentes, como: União de conjuntos, Intersecção de conjuntos, Diferença...
- Como Representar Um Conjunto
Como representar um conjunto • Pela designação de seus elementos Os elementos são colocados entre chaves, e separados por vírgula ou ponto e vírgula. Por exemplo: C = {e, j, m, o, z} - indica que o conjunto C é formado pelos elementos e, j, m,...
- Operações Com Conjuntos
Operações envolvendo conjuntosAs operações envolvendo conjuntos são de fundamental importância para o desenvolvimento de outras áreas da matemática, como a probabilidade, por exemplo; e para resolução de diversas situações-problema. Dentre...
- Conjunto
Quando falamos de operação lembramos logo de adição, subtração, divisão, multiplicação entre números. É possível também operar conjuntos. Essas operações recebem nomes diferentes, como: União de conjuntos, Intersecção de conjuntos, Diferença...
Matemática
Conjunto
Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email [email protected]
www.ensinodematemtica.blogspot.com.br
www.accbarrosogestar.blogspot.com.br
WWW.profantoniocarneiro.com
Relação de pertinência
Cada aluno da classe tem uma mesma propriedade: estar na sala de aula. Assim, ao falarmos neste conjunto estabelecemos a possibilidade de averiguar se uma pessoa pertence ou não a ele. O conceito básico da teoria dos conjuntos é a relação de pertinência representada pelo símbolo . As letras minúsculas designam os elementos de um conjunto e as maiúsculas, os conjuntos. Assim, o conjunto das vogais (V) é:
V = {a, e, i, o, u}
• A relação de pertinência é expressa por: a V, pois o elemento a pertence ao conjunto V.
• A relação de não-pertinência é expressa por: bV, pois o elemento b não pertence ao conjunto V.
Figura 2
Representação de um conjunto
Para representar um conjunto pode-se escrever, entre chaves, todos os elementos que pertencem ao conjunto, como foi demonstrado anteriormente o conjunto V, ou então expressá-lo graficamente com um diagrama de Venn. Os conjuntos são representados por curvas fechadas e, em seu interior, os elementos, por pontos (Figura 2).
Formação de um conjunto
Um conjunto pode ser definido de duas maneiras:
• Enumerando todos os elementos do conjunto:
S = {1, 3, 5, 7, 9}
• Expressando uma ou mais propriedades que se verificam para todos os seus elementos e somente para eles:
S = {números ímpares de um algarismo} Podemos representá-lo assim:
B = {x S | x tem a propriedade P}; (lê-se: x pertence ao conjunto S tal que x possui a propriedade P).
O conjunto B é formado por todos os elementos de S que possuem a propriedade P.
Exemplo:
Sendo N o conjunto dos números naturais:
B = {xN | x < 8}
Enumerando-se os elementos de B temos:
B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Conjunto vazio
É aquele que não contém nenhum elemento e é representado matematicamente porou por duas chaves { } em que não se escreve nada dentro.
Subconjuntos de um conjunto
Quando todos os elementos de um conjunto A pertencem também a outro conjunto B, dizemos que:
• A é um subconjunto de B
• ou então que ... A é uma parte de B
• ou então que ... A está incluído em B e escrevemos:
AB
Se existir pelo menos um elemento de A que não pertença a B, diremos então que A não está incluído em B e escreveremos:
AB
Exemplo:
Figura 3
Seja V o conjunto das vogais e L o das letras do alfabeto: VL (Figura 3, ao lado).
Conjunto das partes de um conjunto
Se tivermos um conjunto de elementos a que chamamos F, o conjunto das partes de F será aquele formado por todos os possíveis subconjuntos de F e será representado por (F).
Se o conjunto F tem n elementos, então o conjunto das partes de F, ,(F), terá 2n elementos.
Exemplo:
Sendo F = {3, 5, 9}, vamos escrever todos os possíveis subconjuntos de F:
• com nenhum elemento
• com 1 elemento {3}, {5}, {9}
• com 2 elementos {3, 5}, {3, 9}, {5, 9}
• com 3 elementos {3, 5, 9}
Podemos então escrever: (F) = {, {3}, {5}, {9}, {3, 5}, {3, 9}, {5, 9}, {3, 5, 9} }
O número de elementos de um conjunto F é denominado ordem do conjunto e é indicado por n(F).
Repare que no exemplo acima n(F) = 3 e n ((F)) = 23 = 8
Relação de inclusão
A relação de inclusão possui 3 propriedades:
Propriedade reflexiva: AA, isto é, um conjunto sempre é subconjunto dele mesmo.
Propriedade anti-simétrica: se AB e BA, então A = B.
Propriedade transitiva: se AB e BC, então AC.
Conjunto complementar
Se considerarmos o retângulo R (Figura 4, abaixo) e sua parte hachurada A, observaremos que A é um subconjunto de R.
AR
A outra parte pontilhada chama-se complementar de A com respeito a R e é representada por .
Figura 4
No caso dos alunos de uma classe, o conjunto complementar do conjunto dos alunos presentes à aula será formado pelos alunos ausentes à aula.
União e intersecção de conjuntos
Dados dois conjuntos A e B, existe sempre um terceiro formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos a que chamamos conjunto união e representamos por: AB.
Formalmente temos que: A B = {x| x A ou x B}
A união de conjuntos obedece às seguintes propriedades:
Propriedade comutativa:
A B = B A
Propriedade associativa:
A (B C) = (A B) C
Elemento Neutro:
A = A
Figura 5
Utilizando os diagramas de Venn (Figura 5, ao lado), verificamos algumas das propriedades acima.
A intersecção dos conjuntos A e B é o conjunto
formado pelos elementos que são ao mesmo
tempo de A e de B, e é representada por: A B
Formalmente temos que: A B = {x| x A e x B}
A intersecção de dois conjuntos obedece às seguintes propriedades:
Propriedade comutativa:
A B = B A
Propriedade associativa:
A (B C) = (A B) C
Propriedade de idempotência:
A A = A
Figura 6
A =
Utilizando os diagramas de Venn (Figura 6, ao lado),
podemos verificar algumas das propriedades acima.
Relacionando união e intersecção, surgem
duas outras propriedades interessantes:
Propriedade distributiva da união com relação à intersecção:
A (B C) = (A B) (A C);
Propriedade distributiva da intersecção com relação à união:
A (B C) = (A B) (A C).
Produto cartesiano
O produto cartesiano de dois conjuntos A e B, escrito A X B, é o conjunto formado por todos os pares ordenados (a, b), em que o primeiro elemento a pertence a A e o segundo elemento b pertence a B.
Simbolicamente, podemos escrever:
A X B = {(a, b)| a A, b B}
Se A = {1, 2} e B = {x, y, z}, então:
A X B = {(1, x), (1, y), (1, z), (2, x), (2, y), (2, z)}
O conjunto A X B tem 2 X 3 = 6 elementos.
Em geral, se A tem a elementos e B tem b elementos, A X B tem a X b elementos, isto é:
se n(A) = a e n(B) = b, temos que n(A X B) = a X b.
É importante salientar que os pares ordenados recebem estes nomes por se constituírem de 2 elementos em que é fundamental a ordem na qual se apresentam.
No exemplo, o par (1, x) pertence a A X B. Mas o mesmo não acontece com o par (x, 1), que pertenceria ao produto B X A.
Figura 7
É por isso que se afirma que o produto cartesiano não tem a propriedade comutativa. Ele pode ser representado de várias formas, como indica a Figura 7, ao lado:
• Com um diagrama de flechas.
• Com um diagrama cartesiano.
• Com um diagrama em árvore.
As propriedades do produto cartesiano são as seguintes:
Propriedade associativa:
(A X B) X C = A X (B X C) = A X B X C
A X =
A X B = se, e somente se, A = ou B = Se C e
A X C = B X C, então: A = B
EXERCÍCIOS
1. Enumere os conjuntos D = {dias da semana}.
2. Considerar o conjunto M.
M = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}
Que propriedade obedecem todos os elementos do conjunto M?
Expresse o conjunto M por meio da propriedade que caracteriza todos os seus elementos.
3. Determinar qual dos conjuntos seguintes está descrito pela propriedade de seus elementos e qual está com os elementos enumerados:
A = {Pessoas que receberam o Prêmio Nobel}
B = {José, Emílio, Berta, Joana, Rafael}
4. Indicar todos os subconjuntos que podem ser formados com os elementos do conjunto A.
A = {a, b, c}
5. Dados os seguintes conjuntos:
A = {1, 2, 3, 4, 5}; B = {4, 5, 6}; C = {2, 3, 4}
Calcular:
a) A B; b) A C; c) A (B C); d) (A B) C
- Conjunto
Como representar um conjunto • Pela designação de seus elementos Os elementos são colocados entre chaves, e separados por vírgula ou ponto e vírgula. Por exemplo: C = {e, j, m, o, z} - indica que o conjunto C é formado pelos elementos e, j, m,...
- Conjunto
Quando falamos de operação lembramos logo de adição, subtração, divisão, multiplicação entre números. É possível também operar conjuntos. Essas operações recebem nomes diferentes, como: União de conjuntos, Intersecção de conjuntos, Diferença...
- Como Representar Um Conjunto
Como representar um conjunto • Pela designação de seus elementos Os elementos são colocados entre chaves, e separados por vírgula ou ponto e vírgula. Por exemplo: C = {e, j, m, o, z} - indica que o conjunto C é formado pelos elementos e, j, m,...
- Operações Com Conjuntos
Operações envolvendo conjuntosAs operações envolvendo conjuntos são de fundamental importância para o desenvolvimento de outras áreas da matemática, como a probabilidade, por exemplo; e para resolução de diversas situações-problema. Dentre...
- Conjunto
Quando falamos de operação lembramos logo de adição, subtração, divisão, multiplicação entre números. É possível também operar conjuntos. Essas operações recebem nomes diferentes, como: União de conjuntos, Intersecção de conjuntos, Diferença...