Matemática
No estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definição. Para um estudo mais aprofundado sobre a Teoria dos Conjuntos, pode-se ler: Naive Set Theory, P.Halmos ou Axiomatic Set Theory, P.Suppes. O primeiro deles foi traduzido para o português sob o título (nada ingênuo de): Teoria Ingênua dos Conjuntos.
O conjunto de todos os brasileiros.
O conjunto de todos os números naturais.
O conjunto de todos os números reais tal que x²-4=0.
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.
Elemento: é um dos componentes de um conjunto.
José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros.
1 é um elemento do conjunto dos números naturais.
-2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x²-4=0.
Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.
Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto.
José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.
1 pertence ao conjunto dos números naturais.
-2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x²-4=0.
Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo
que se lê: "pertence".
N
Para afirmar que 0 não é um número natural ou que 0 não pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:
0
N
Um símbolo matemático muito usado para a negação é a barra / traçada sobre o símbolo normal.
Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }.
A={a,e,i,o,u}
N={1,2,3,4,...}
M={João,Maria,José}
Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.
A={x: x é uma vogal}
N={x: x é um número natural}
M={x: x é uma pessoa da família de Maria}
Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-óiler") Os conjuntos são mostrados graficamente.
B, se todos os elementos de A também estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente contido em B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, contém também outros elementos. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto que contém A.
Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o conjunto universo.
A
B = { x: x A ou x B }
Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então AB={a,e,i,o,3,4}.
A
B = { x: x A e x B }
Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então AB=Ø.
Quando a interseção de dois conjuntos A e B é o conjunto vazio, dizemos que estes conjuntos são disjuntos.
B e a interseção de A e B, denotada por AB, ainda são conjuntos no universo.
A = A e A A = A
A B, B A B, A B A, A B B
B equivale a A B = B
AB equivale a A B = A
(B C) = (A B) C
A(B C) = (A B) C
B = B A
A B = B A
Ø = A
Ø = Ø
U = A
(B C ) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C)
Os gráficos abaixo mostram a distributividade.
A-B = {x: x A e x B}
CAB = A-B = {x: x A e x B}
Quando não há dúvida sobre o universo U em que estamos trabalhando, simplesmente utilizamos a letra c posta como expoente no conjunto, para indicar o complemento deste conjunto. Muitas vezes usamos a palavra complementar no lugar de complemento.
Exemplos: Øc=U e Uc=Ø.
(A B)c = Ac Bc
O complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos.
(A1 A2 ... An)c = A1c A2c ... Anc
O complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a reunião dos complementares desses conjuntos.
(AB)c = Ac Bc
O complementar da interseção de uma coleção finita de conjuntos é a reunião dos complementares desses conjuntos.
(A1 A2 ... An)c = A1c A2c ... Anc
AB = { x: xAB e xAB }
B.
O conjunto vazio é o elemento neutro para a operação de diferença simétrica. Usar o ítem anterior.
A diferença simétrica é comutativa.
A diferença simétrica é associativa.
AA=Ø (conjunto vazio).
A interseção entre A e BC é distributiva, isto é:
A (B C) = (AB) (A C)
A B está contida na reunião de AC e de BC, mas esta inclusão é própria, isto é:
A B (A C) (B C)
Fonte: pessoal.sercomtel.com.br
- Conjunto
Quando falamos de operação lembramos logo de adição, subtração, divisão, multiplicação entre números. É possível também operar conjuntos. Essas operações recebem nomes diferentes, como: União de conjuntos, Intersecção de conjuntos, Diferença...
- Conjunto
Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro BarrosoColégio Estadual Dinah Gonçalvesemail [email protected] www.ensinodematemtica.blogspot.com.brwww.accbarrosogestar.blogspot.com.br www.accbarrosogestar.wordpress.com ...
- Conjunto
Ele representa conjuntos da seguinte maneira: a) b) Relação de inclusão – SubconjuntoDados dois conjuntos A e B, diz que A está contido em B ou que A é subconjunto de B, somente se, todo elemento do conjunto A também for elemento de B. Isso será...
- Conjunto
Quando falamos de operação lembramos logo de adição, subtração, divisão, multiplicação entre números. É possível também operar conjuntos. Essas operações recebem nomes diferentes, como: União de conjuntos, Intersecção de conjuntos, Diferença...
- Operações Com Conjuntos
Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro BarrosoColégio Estadual Dinah Gonçalvesemail [email protected] www.ensinodematemtica.blogspot.com.brwww.accbarrosogestar.blogspot.com.br ...
Matemática
Conjuntos teoria
Professor de Matemática e Ciências Antonio Carlos Carneiro Barroso
Colégio Estadual Dinah Gonçalves
email [email protected]
Blog HTTP://ensinodematemtica.blogspot.comNo estudo de Conjuntos, trabalhamos com alguns conceitos primitivos, que devem ser entendidos e aceitos sem definição. Para um estudo mais aprofundado sobre a Teoria dos Conjuntos, pode-se ler: Naive Set Theory, P.Halmos ou Axiomatic Set Theory, P.Suppes. O primeiro deles foi traduzido para o português sob o título (nada ingênuo de): Teoria Ingênua dos Conjuntos.
Alguns conceitos primitivos
Conjunto: representa uma coleção de objetos.O conjunto de todos os brasileiros.
O conjunto de todos os números naturais.
O conjunto de todos os números reais tal que x²-4=0.
Em geral, um conjunto é denotado por uma letra maiúscula do alfabeto: A, B, C, ..., Z.
Elemento: é um dos componentes de um conjunto.
José da Silva é um elemento do conjunto dos brasileiros.
1 é um elemento do conjunto dos números naturais.
-2 é um elemento do conjunto dos números reais que satisfaz à equação x²-4=0.
Em geral, um elemento de um conjunto, é denotado por uma letra minúscula do alfabeto: a, b, c, ..., z.
Pertinência: é a característica associada a um elemento que faz parte de um conjunto.
José da Silva pertence ao conjunto dos brasileiros.
1 pertence ao conjunto dos números naturais.
-2 pertence ao conjunto de números reais que satisfaz à equação x²-4=0.
Símbolo de pertinência: Se um elemento pertence a um conjunto utilizamos o símbolo
que se lê: "pertence".Para afirmar que 1 é um número natural ou que 1 pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:
1 NPara afirmar que 0 não é um número natural ou que 0 não pertence ao conjunto dos números naturais, escrevemos:
0
NUm símbolo matemático muito usado para a negação é a barra / traçada sobre o símbolo normal.
Algumas notações para conjuntos
Muitas vezes, um conjunto é representado com os seus elementos dentro de duas chaves { e } através de duas formas básicas e de uma terceira forma geométrica:Apresentação: Os elementos do conjunto estão dentro de duas chaves { e }.
A={a,e,i,o,u}
N={1,2,3,4,...}
M={João,Maria,José}
Descrição: O conjunto é descrito por uma ou mais propriedades.
A={x: x é uma vogal}
N={x: x é um número natural}
M={x: x é uma pessoa da família de Maria}
Diagrama de Venn-Euler: (lê-se: "Ven-óiler") Os conjuntos são mostrados graficamente.
Subconjuntos
Dados os conjuntos A e B, diz-se que A está contido em B, denotado por AB, se todos os elementos de A também estão em B. Algumas vezes diremos que um conjunto A está propriamente contido em B, quando o conjunto B, além de conter os elementos de A, contém também outros elementos. O conjunto A é denominado subconjunto de B e o conjunto B é o superconjunto que contém A.Alguns conjuntos especiais
Conjunto vazio: É um conjunto que não possui elementos. É representado por { } ou por Ø. O conjunto vazio está contido em todos os conjuntos.Conjunto universo: É um conjunto que contém todos os elementos do contexto no qual estamos trabalhando e também contém todos os conjuntos desse contexto. O conjunto universo é representado por uma letra U. Na sequência não mais usaremos o conjunto universo.
Reunião de conjuntos
A reunião dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A ou ao conjunto B.A
B = { x: x A ou x B }Exemplo: Se A={a,e,i,o} e B={3,4} então A
B={a,e,i,o,3,4}.Interseção de conjuntos
A interseção dos conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B.A
B = { x: x A e x B }Exemplo: Se A={a,e,i,o,u} e B={1,2,3,4} então A
B=Ø.Propriedades dos conjuntos
Fechamento: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, a reunião de A e B, denotada por AB e a interseção de A e B, denotada por AB, ainda são conjuntos no universo.Reflexiva: Qualquer que seja o conjunto A, tem-se que:
A A = A e A A = AInclusão: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
A A B, B A B, A B A, A B BInclusão relacionada: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
A B equivale a A B = BA
B equivale a A B = AAssociativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
A (B C) = (A B) CA
(B C) = (A B) CComutativa: Quaisquer que sejam os conjuntos A e B, tem-se que:
A B = B A A
B = B AElemento neutro para a reunião: O conjunto vazio Ø é o elemento neutro para a reunião de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
A Ø = AElemento "nulo" para a interseção: A interseção do conjunto vazio Ø com qualquer outro conjunto A, fornece o próprio conjunto vazio.
A Ø = ØElemento neutro para a interseção: O conjunto universo U é o elemento neutro para a interseção de conjuntos, tal que para todo conjunto A, se tem:
A U = ADistributiva: Quaisquer que sejam os conjuntos A, B e C, tem-se que:
A (B C ) = (A B) (A C)A
(B C) = (A B) (A C)Os gráficos abaixo mostram a distributividade.
Diferença de conjuntos
A diferença entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.A-B = {x: x
A e x B}Do ponto de vista gráfico, a diferença pode ser vista como:
Complemento de um conjunto
O complemento do conjunto B contido no conjunto A, denotado por CAB, é a diferença entre os conjuntos A e B, ou seja, é o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B.CAB = A-B = {x: x
A e x B}Graficamente, o complemento do conjunto B no conjunto A, é dado por:
Exemplos: Øc=U e Uc=Ø.
Leis de Augustus De Morgan
O complementar da reunião de dois conjuntos A e B é a interseção dos complementares desses conjuntos.(A
B)c = Ac BcO complementar da reunião de uma coleção finita de conjuntos é a interseção dos complementares desses conjuntos.
(A1
A2 ... An)c = A1c A2c ... AncO complementar da interseção de dois conjuntos A e B é a reunião dos complementares desses conjuntos.
(A
B)c = Ac BcO complementar da interseção de uma coleção finita de conjuntos é a reunião dos complementares desses conjuntos.
(A1
A2 ... An)c = A1c A2c ... AncDiferença simétrica
A diferença simétrica entre os conjuntos A e B é o conjunto de todos os elementos que pertencem à reunião dos conjuntos A e B e não pertencem à interseção dos conjuntos A e B.A
B = { x: xAB e xAB } O diagrama de Venn-Euler para a diferença simétrica é:
Exercício: Dados os conjuntos A, B e C, pode-se mostrar que:
A=Ø se, e somente se, B=AB.O conjunto vazio é o elemento neutro para a operação de diferença simétrica. Usar o ítem anterior.
A diferença simétrica é comutativa.
A diferença simétrica é associativa.
A
A=Ø (conjunto vazio).A interseção entre A e B
C é distributiva, isto é:A
(B C) = (AB) (A C)A
B está contida na reunião de AC e de BC, mas esta inclusão é própria, isto é:A
B (A C) (B C)Fonte: pessoal.sercomtel.com.br
- Conjunto
Quando falamos de operação lembramos logo de adição, subtração, divisão, multiplicação entre números. É possível também operar conjuntos. Essas operações recebem nomes diferentes, como: União de conjuntos, Intersecção de conjuntos, Diferença...
- Conjunto
Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro BarrosoColégio Estadual Dinah Gonçalvesemail [email protected] www.ensinodematemtica.blogspot.com.brwww.accbarrosogestar.blogspot.com.br www.accbarrosogestar.wordpress.com ...
- Conjunto
Ele representa conjuntos da seguinte maneira: a) b) Relação de inclusão – SubconjuntoDados dois conjuntos A e B, diz que A está contido em B ou que A é subconjunto de B, somente se, todo elemento do conjunto A também for elemento de B. Isso será...
- Conjunto
Quando falamos de operação lembramos logo de adição, subtração, divisão, multiplicação entre números. É possível também operar conjuntos. Essas operações recebem nomes diferentes, como: União de conjuntos, Intersecção de conjuntos, Diferença...
- Operações Com Conjuntos
Professor de Matemática e Biologia Antônio Carlos Carneiro BarrosoColégio Estadual Dinah Gonçalvesemail [email protected] www.ensinodematemtica.blogspot.com.brwww.accbarrosogestar.blogspot.com.br ...